- 締切済み
複素数の範囲での直線の方程式の可能性について
[問い] 円C1:x^2 + y^2 = 9 円C2:x^2 + (y-2)^2 = 4 この二つの円の共通接線の方程式を求めよ。 ---- 答えは分かっています。 C1の接点Pの座標を(s, t)としたとき、 t=3/2 -----(イ) t=15/2 -----(ロ) この二通りが考えられる訳ですが、(ロ)で計算を進めていくと、 s=±{(3√21i)/2}となります。ですので、(イ)で計算を進め、 答えを導きます。 ただ・・・ そもそも円C1と円C2の位置関係を把握する為に図を描いた時点で、 二円が共有点を二つ持つような位置に存在している為に共通内接線 を引けないというのは分かったのですが、本当に(ロ)から得られる ような複素数の範囲にある直線の方程式では引けないのでしょうか。 共通外接線/共通内接線が複素数の範囲に存在する可能性は無いので しょうか。もしあるとするならどういう図になりますか？ ・・・なんだかおかしな事を訊いているようで、 質問自体にもあまり自信がありませんが・・・ 宜敷御願い致します。
- popo1027
- お礼率28% (28/100)
- 数学・算数
- 回答数3
- ありがとう数1
- みんなの回答 （3）
- 専門家の回答
みんなの回答
- kabaokaba
- ベストアンサー率51% (724/1416)
C1の接線を，s^2+t^2=9の条件の下で sx+ty=9と表して， これがC2：x^2+(y-2)^2=4と接するわけだから (0,2)とsx+ty=9の距離が2ということで |2t-9|/3 = 2 だから 2t-9 = 6,-6 t = 3/2, 15/2 ということでしょう． ところが，s^2+t^2=9より， -3<=t<=3だからt=3/2だけが解になります． ここで重要なのは s,tが実数だから， 「s^2+t^2=9より，-3<=t<=3」 ということが言えるのです． 実数という条件がなければ， 虚数だってありです． それで，No.2さんご指摘のように 立派に「複素数の範囲で「接線」は存在」です． この場合は考える空間がもっと広くて (z,w) zとwは複素数で C1: z^2+w^2=9 C2: z^2+(w-2)^2=4 なんて書くことが多いです． この複素数の場合は，接線といっても 複素数の「線」なので 「実数」としてみれば「面」です． 複素二次元は実四次元なので，普通に絵に描くことはできません． ＃複素数で考えたときの「適切な断面」が実数のときの絵となるので ＃断面の取り方を変えれば，「複素数の接線」も一部は見えるかも． 実際のところ・・・数学の世界では 「複素数の範囲ではn次方程式は重複を含めてn個の解を持つ」 ということから，この手の方程式で表せる図形は 複素数で考えることが多いです． ＃実数だけで方程式で表される図形を考えるのは ＃とても難しいのです ということで，質問自体はとてもいい内容だと思うし， そういうところに気がつくのもいいことだと思います． ちなみに，複素数で図形を考えると結構面白いことが起こります． たとえば，x=0とy=0（y軸とx軸）のは原点で交わります． このxとyを複素数だと思うと，これらの軸は平面（複素平面）であり， 複素二次元，つまり四次元の世界にいます． そして，平面同士なのに「原点だけで交わる」という状態です． われわれの普通の感覚では平面が「一点で交わる」ことはないですが， 複素数まで考えるとこういうことが起こります． これは「一点で交わる二つの平面」の断面が われわれのしってる「二次元座標平面」と解釈できます．
- arrysthmia
- ベストアンサー率38% (442/1154)
その「接線」は、複素2次元空間 C~2 内に存在し、 C~2 内では、正しく2円の共通接線になっています。 貴方が C~2 (または、それと同相な 実4次元空間 R~4) の図形を見たり描いたりすることができるならば、 この状況を眺めることができます。 ただし、接点の座標が虚数であれば、実xy平面内では 接点が在るとは見なされませんから、 実空間の問題としては、貴方が解いたように、 虚数接点の解は捨てることになります。
- info22
- ベストアンサー率55% (2225/4034)
(イ),（ロ)を導出する過程の計算を書かないで、同値関係を保ちながら P点のy座標を導出しましたか？ 同値関係を無視して出てくるtが（ロ）であり、同値関係を保って出てくるt が（イ）の方です。 計算を書かないで >答えは分かっています。 として いる点で紛れ込んだ正しくないtである(ロ）で議論を進めること自体、 正しくない結論に行くだけです。 （イ）のtで計算すれば 虚数のsなどでてこないで s=±(3√3)/2 が出てきますよ。 単なるあなたの計算間違いでしょう。 C1の接点(s,t)=(±(3√3)/2,3/2)を通る共通外接線 ±(3√3)x+(3/2)y=9 が2本出てきます。 グラフを描くと添付図のようになります。
関連するQ&A
- 数２の問題（複素数と方程式の範囲）を教えてください。
数２の問題（複素数と方程式の範囲）を教えてください。 aを実数の定数とする。方程式 (x^2-2x)^2-2(a+2)(x^2-2x)+4a+20=0 ・・・・・(1) について、次の各問に答えよ。 1.tを実数の定数とする。２次方程式x^2-2x=tが異なる２つの実数解をもつとき、 tのとり得る値の範囲を求めよ。 2.方程式(1)が異なる4つの実数解をもつとき、aのとり得る値の範囲を求めよ。 3.方程式(1)が実数解をもたないとき、aのとり得る値の範囲を求めよ。 という問題です。 1.は x^2-2x=t ⇔ x^2-2x-t=0 より、この方程式の判別式をDとすると D/4=1+t であり、異なる２つの実数解をもつのは、D>0のときであるから 1+t>0 ⇔ t>-1 （答） としてみましたが、これでいいのか自信ありません。 2.、3.はどうしたらよいかわかりません。 解法と解説をよろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 連立方程式を解きたい（複素数）
実際の式よりかなり簡略化してます。 |1-a・X|^2 / |1-y・X|^2 = e ・・・(1) |1-b・X|^2 / |1-y・X|^2 = f ・・・(2) |1-c・X|^2 / |1-y・X|^2 = g ・・・(3) X →複素数（求めたいパラメータ） a,b,c,y →既知の複素数（測定値） e,f,g →既知の実数 （測定値） || →絶対値記号 上記の工学系方程式を解きたいのですが、絶対値記号があったり パラメータが複素数だったりでちんぷんかんぷんです。 まず、方程式は3つも必要なんでしょうか？ ニュートン法じゃないと解けないのでしょうか？ あつかましいお願いですが、文系の私にも分かるように説明をお願いできませんでしょうか。 数学の自由な皆さん、よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 数２の問題（複素数と方程式）を教えてください。
数２の問題（複素数と方程式）を教えてください。 問題 aを実数の定数とする。４次方程式 x^4-ax^3+(a+7)X^2-ax+1=0 ・・・・・(1) について、次の質問に答えよ。 [1]t=x+(1/x)とおくとき、方程式(1)をtの２次方程式に直せ。 [2]方程式(1)が2重解をもつとき、aの値をすべて求めよ。 [3]方程式(1)が異なる４つの正の解をもつとき、aのとり得る値の範囲を求めよ。 という問題です。 [1]だけやってみましたが、[2][3]はわかりません。 解説と模範解答をよろしくお願いします。 解答 [1]与えられた方程式はx=0を解に持たないから、両辺をx^2で割ると x^2-ax+a+7-(a/x)+(1/x^2)=0 ⇔ (x^2+(1/x^2))-a(x+(1/x))+a+7=0 ⇔ [(x+(1/x))^2-2]-a(x+(1/x))+a+7=0 ∴t^2-at+a+5=0 (答)
- 締切済み
- 数学・算数
- この４次方程式を解くには？
Ferrariの解法を使って下の４次方程式を解けという問題なのですが、何度やっても答えを出すことができません。 x^4-5x^3+6x+3=0 これが解を求めたい方程式です。 自分がやってみたことを下に書いてみます。 この方程式には３次の項が含まれているので、まずx=y+5/4として、 ３次の項を消去して、平方完成の形に直しました。 (y^2 - 75/8)^2 ＝-75y^2/8＋75^2/64＋77y/8－813/256 ここで新しい変数tを導入する。 (y^2－75/8＋t)＝(-75/8＋2t)y^2＋77y/8＋t^2－75y/4＋75^2/64＋813/256 ここで、右辺の判別式＝０になればよいので、計算すると結局、 8t^3－ 375t^2/2＋8(75^2/32 －813/256)t-4(75/8)(75^2/64 －813/256)－77^2/64＝0 になりました。 このあと、tについての3次方程式を解いてみたのですが（カルダノの解法を使いました）計算が膨大になってしまい解けませんでした。しかも、ここからの解法の流れがわからないので、どうしていいかわかりません。もしわかる方がいらっしゃいましたら教えてください。よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 円の中心の直線の求め方を教えてください。
座標平面上で、2点A(0,3)、B(6,1)がある。 このとき、次のことが言える。 (1) 2点A,Bを通る円C1の中心O1は、直線 y=(ア)x-(イ) 上にある。 (2) (1)で考えた円C1 の半径が2√5のとき、 中心が第一象限にある円C1の中心O1 の 座標はO1(ウ,エ)である。 (3) 直線ABに関して(2)で求めたC1と 対称な円C2の方程式を求めると (xオカ)^2+(yキク)^2=ケコ である。 ただし、オとキは符号が入る。 (4)円C1と円C2とで囲まれた共通部分の 面積Sは S=(サシ)π(ス)(セソ)である。 ただし、スは符号が入り、πは円周率である。 (1)からわかりません。教えてください、 よろしくお願いします(T . T)
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ３次方程式の根の複素数平面上の三角形
次の問題はどう攻めたらよいのでしょうか。 「３次関数 f(z)=0 を満たす３つの解が複素数平面上で三角形を成すとき、 f'(z)=0 の２つの解を焦点とし、上の三角形の一辺の中点を通る楕円は他の辺の中点も通り、かつ三角形に内接することを示せ。」 ３次方程式の解が３実数でないときは１個の実数と２個の共役な複素数なので、複素数平面上で三角形を成すときは実数軸を対称軸する２等辺三角形ということは分かります。また、３次関数のグラフは変曲点が２個所あるから f'(z)=0 の２つの解は実数で、複素数平面の実数軸上にあると思います。しかし、実軸上にある三角形の頂点および底辺の中点と、f'(z)=0 の解との複素数平面上での位置関係が分からないので、その先が進みません。どういうふうに考えを進めたらよいのでしょうか。よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 複素数に関する方程式の問題
以下の問題がわかりません。ご教授いただけたら幸いです。 複素数zに関する方程式z^4 + (1-a^2)*|z|^4 - a^2 *(z')^2 = 0 ・・・(*) (z'はzの共役複素数、aは±1以外の実数) (1)恒等式|z|^2 = z*z'を証明せよ (2)方程式(*)の解をz=x+iyとするときxとyが満たす関係式を求めよ。 (3)方程式(*)のz=0以外の解のうち任意の二つの解をz1,z2とするとき、arg(z2)-arg(z1)がとりうる値を-π<arg(z2)-arg(z1)<πの範囲ですべて求めよ。 なおarg(z1),arg(z2)はそれぞれz1,z2の偏角である。 (4)z2'/z1は実数または純虚数となることを示せ (z2'はz2の共役複素数) 宜しくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
お礼
ありがとうございます。とても分かりやすいです。 また、お答えから色んな好奇心が刺戟されてそれがとても嬉しいです。 以前私はこのような質問をしたことがあります。 http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4918025.html 今回の質問は、この中の四番の方が仰っていることと関連はありますか？ お答えが大変興味のある話だったので、是非とも色々掘り下げて知りたい のですがどういう単語が鍵になるのかわかりません。高校の範囲を超えて いても構いません。是非教えて下さい。 宜敷御願い致します。