連立方程式を解きたい（複素数）

質問

実際の式よりかなり簡略化してます。
|1-a・X|^2 / |1-y・X|^2 = e 　 ・・・(1)
|1-b・X|^2 / |1-y・X|^2 = f 　　・・・(2)
|1-c・X|^2 / |1-y・X|^2 = g 　 ・・・(3)

X　　　　 →複素数（求めたいパラメータ）
a,b,c,y　 →既知の複素数（測定値）
e,f,g　　　→既知の実数　 （測定値）
|| 　　 　　→絶対値記号

上記の工学系方程式を解きたいのですが、絶対値記号があったり
パラメータが複素数だったりでちんぷんかんぷんです。
まず、方程式は3つも必要なんでしょうか？
ニュートン法じゃないと解けないのでしょうか？
あつかましいお願いですが、文系の私にも分かるように説明をお願いできませんでしょうか。
数学の自由な皆さん、よろしくお願いします。

回答No.6

sonetea

> 私の理解としては、絶対値をとるかどうかにかかわらず２元２次だと思っています。

根本的な解釈が違うのかもしれませんね。
ちょっと長くなりますが、せっかくの機会なので…

厳密な数学の話ではどうなのかわかりませんが、
・n元方程式を解くには、最低n個の方程式が必要…(1)
だと思っています。
（以下はこれを前提にお話します）

そして、No.2, No.3で書いたとおり、
複素数の元の解釈は成分で考えると未知数が2つに見えますが方程式は一つで解けます。
半ば(1)を満たすために
> Ｘの実部についての方程式と
> Ｘの虚部についての方程式に分ける。
のように実部と虚部の2つの式があると解釈してると言っても良いと思います。

いきなりですが、
X^2 - 2X + 2 = 0
を考えてみましょう。
ぱっと見たところ一元二次方程式に見えませんか？
これを二次方程式の解の公式を使って求めると、
X = 1 ± i
となります。

No.2に対する補足で、

> 複素数Xに対して
> aX = b + ci
> なる方程式があれば、
> X = [ b/a + (c/a)i]
> と求められるので、未知数2個と等価だと思います。（未知数→b/a ,c/a)

とありましたが、上記の X^2 - 2X + 2 = 0 にもそれを当てはめて、
「二元二次方程式」だとすると違和感ありませんか？

結局のところ成分で考えるかどうかの問題です。
しかも成分で考えたときに「2つの式がある」と私は解釈しましたが、
実のところ、そう解釈しなくても良いです。
1つの式だと解釈した場合、
大元の前提である(1)を崩してやって、
・複素数の場合は未知数2個でも1本の方程式で解ける
とすればよいだけの話です。

最後に結論を言うと、

> |1-a・X|^2 / |1-y・X|^2 = e 　 ・・・(1)

もし絶対値をとっていなかったとしたら、

> (1-a・X)^2 / (1-y・X)^2 = e

ここで未知数が1つか2つなのかは別として、
この式一つで解が求められます。

お礼

ご回答ありがとうございます。
ご説明がなんとなく分かりそうな分からないような。
理解するために、少し考える時間をください。

回答No.5

sonetea

No.4さんの回答を見てから改めて問題を見てみると…

絶対値使っていたんですね。
すみません、見落としてました。
絶対値をとった時点で複素数の情報が落ちるので、
確かに二元二次方程式となります。

> 質問をしている立場の私が、こう度々理解できないと連呼すると
> ご回答者様に挑んでいるようにも見えてしまうのではないかと心配しています。

こちらの方こそ、変な言いがかりになってしまいました。
申し訳ありません。

お礼

幾たびもお付き合いいただき本当にありがとうございます。
どんな情報であっても、疑問解決のために共に考えてくださることは質問者としては非常にうれしいです。

>絶対値をとった時点で複素数の情報が落ちるので、確かに二元二次方程式となります。

私の理解としては、絶対値をとるかどうかにかかわらず２元２次だと思っています。
なぜなら、本方程式の各パートでの絶対値をとるためにはやはり虚部と実部の２つのパラメータが必要ではないでしょうか？
つまり、二つの情報がないと絶対値も決定できないと思うのです。
（絶対値をとった時点で複素数の情報が落ちるのは理解できるのですが）

回答No.4

nakaizu

質問者さんの言う通りに二元二次方程式になります。
普通は二元二次方程式の元を減らすと四次方程式になりますが、この場合は特別に二次方程式のままです。したがって普通に解くことができます。
さて、|x|=1 という方程式の解は原点を中心とした半径1の円になります。(1)、(2)、(3)の方程式も本質的には似たようなもので、解は複素平面上の円(または直線)になります。
円と円の交点が連立方程式の解になります。普通は二つの円の交点は二つです。どちらかを決定するために第三の方程式があるのでしょう。
なお、これは三つの方程式に共通解があるという前堤での話です。
三つの円が一点で交わるのは非常に特殊なことで、普通は解がありません。

お礼

ご回答ありがとうございます。
私の頭の中にある？？が、かなり晴れてきました。
分かりやすい説明ありがとうございます。

大変申し訳ありませんが、これから所用がある為
取り急ぎお礼のみ申し上げます。（明日まで）

補足

まさに知りたかったポイントに付いてご回答頂きましてありがとうございます。
（一意的で無駄のない非常に分かりやすい説明をいただき感謝しています。）

>普通は二元二次方程式の元を減らすと四次・・(略・・・したがって普通に解くことができます。

これはつまり 「多元高次方程式は解けない（近似解を求めるべき）、本方程式のように
１元２次に帰着できるなど特別な場合に限り近似解を求める手法は不要で普通に解ける」と言う事で合っていますでしょうか？
ご回答者さまのおかげで、文系な私としての疑問は大体解けました。
しかしまだ、方程式を解くに至らない数学的に不自由な私としましては
もうしばらく、この質問を開けて他の方々にも引き続きアドバイスをお求めたいと思います。
もうしばらくお付き合いをお願い致します。

回答No.3

sonetea

No.2での私の回答はNo.1の補足みたいなもので、
未知数と式の数の関係を指摘しただけです。

> 複素数Xに対して
> aX = b + ci
> なる方程式があれば、
> X = [ b/a + (c/a)i]
> と求められるので、未知数2個と等価だと思います。（未知数→b/a ,c/a)

そのように成分ごとの見方もできますが、その場合、

X = y + zi とすると
a(y + zi) = b + ci
ay + azi = b + ci
となり、成分ごとに比較すると
ay = b
az = c
2つの式ができますね。

> |1-a・X|^2 / |1-y・X|^2 = e 　 ・・・(1)
のような複素数も
・一塊で考えれば未知数1個で式は1つ
・成分で考えれば未知数2個で式は2つ
存在すると解釈できます。

なので、No.1の方の

> 未知数１個で式が３本あるので，

は間違っていないという趣旨で解答しました。
（未知数2個と考えると式は6本になる）

方程式の解き方自体はちょっとアドバイスできそうにありません。
問題とあまり関係ないところで手を煩わせてしまってすみませんでした。

お礼

ご回答ありがとうございます。
申し訳ありません、まだ理解できないようです。

質問をしている立場の私が、こう度々理解できないと連呼すると
ご回答者様に挑んでいるようにも見えてしまうのではないかと心配しています。
そのような心算は全くございませんので、ご容赦お願いいたします。

まず、x = y + zi　としたときに、ay = b ,az = c　となり
２つの式ができますねという部分ですが、これは b/a →y ,c/a →z　と置き換えられた
ことにより、式のビジュアルが変化しただけ（変数に別の文字を割り当てた）のように思います。
つまり、式としては同じものであり、式が２つになったとは思えません。

つぎに、式の本数が増えたからといって何故、未知数の数が１つであると捉えられるのか
その部分の理屈が分かりません。

頑固者で申し訳ありません。
なんとか理解したいので、いま一度ご説明をお願いいたします。

補足

すこし落ち着いて考えて見ました。
仰っているのは、複素数であるＸについての方程式を
Ｘの実部についての方程式と
Ｘの虚部についての方程式に分ける。
という意味でしょうか？
つまり１本の式が２本になり、それぞれの未知数は１つと言える！
こんな感じでしょうか？
引き続きご指導よろしくお願い致します。

回答No.2

sonetea

> 未知数は複素数ですから少なくとも２つあるということではありませんか？

複素数Xに対して
2X = 4 + 2i
なる方程式があれば、
X = 2 + i
と求められるので、未知数1個と等価だと思います。

お礼

こんにちわ、ご回答ありがとうございます。
情けないんですが、ご説明が理解できないです。
低レベルで申し訳ありません。
大変恐縮ですが、さらに噛み砕いてご説明をお願いできませんでしょうか？
お手数をお掛けして、ほんとうに申し訳ありません。

補足

私の理解の程度を分かって頂けるよう補足いたします。
ご回答の内容を私なりに書き直してみますと。

複素数Xに対して
aX = b + ci
なる方程式があれば、
X = [ b/a + (c/a)i]
と求められるので、未知数2個と等価だと思います。（未知数→b/a ,c/a)

間違いについてご指導頂けますようよろしくお願いいたします。

回答No.1

rabbit_cat

未知数１個で式が３本あるので，普通にニュートン法等では解けない（解なし）になると思います．
例えば，３本の式の２乗誤差の和を最小にするようにXを決める，とかする必要があるでしょう．

お礼

早々のアドバイスありがとうございます。
なにせちんぷんかんぷんなので的外れを言ったら申し訳ありませんが
未知数は複素数ですから少なくとも２つあるということではありませんか？
ところで未だ理解できないのですが、この方程式は普通に解けるのでしょうか？
それとも、特殊な解法が必要なのでしょうか？
その辺りもご解説いただけますとありがたいです。
よろしくお願い致します。

補足

自分自身が勘違いしているのではと思うところを補足いたします。
間違い、勘違いに関して指摘して頂けませんでしょうか？
(1)上記式は２元２次連立方程式と言われるものだと思っています。
(2)２元２次連立方程式は普通には解けない（近似解を求めるしかない）
(3)ゆえにニュートン法が必要である（ニュートン法にこだわる訳ではありません、他にも近似解を求める為の○○法と言われるものがあることはなんとなく分かります）