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直線の通過範囲
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- mister_moonlight
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(1)については 判別式=0から出る円と直線を連立しても出る。計算は大変だが。 (2)については 次のようにするのが一般的だろう。 動くのはtだから それに揃える。 f(t)=(1+x)t^2+2y*t+(1-x)=0とすると、t≧1に少なくても1解を持つ条件として求められる。 (1)1+x=0の時 y*t=1 だから t≧1より y≠0で |1/y|≧1 (2)1+x≠0の時 上に凸か、下に凸か わからないので 1+xで両辺を割ってやる。 f(t)=t^2+(2y)/(1+x)*t+(1-x)/(1+x)=0において ・2解がt≧1の時 判別式≧0、f(1)≧0、軸≧1 ・1解がt≧1の時 f(1)≦0 (2)は極めて常識的問題だが、むしろ(1)の方が面倒かもしれない。
- mister_moonlight
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普通は#1の方法でやるだろうが、先ず問題を良く見る事。そうすれば、問題の背後に隠れているものが見えてくる。 気がつけば、単純な問題。包絡線がbaseになってる問題。 tanθ/2=tとすると、(l-t^2)/(1+t^2)=cosθ、(2t)/(1+t^2)=sinθ だから (1) その直線は、cosθ*x-sinθ*y=1. 従って、この直線は 円:x^2+y^2=1 上の点(cosθ、-sinθ)における接線に他ならない。 (2) tanθ/2=t≧1だから θ≧π/2. 従って、接点が θ≧π/2 だから この円周上を 接点をその範囲で動かすと 接線の通過領域は自明。
- kacchann
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(1)3つの直線 y=1, y=-1, x=1・・・(A) を接線に持つ円の方程式は、 求められますか? (A)はどこから出てきたのかといえば、 tに0,1,-1などを代入してみてください。 (2)接点の動く範囲を求めれば その接線の動く範囲も明らか。 接点の座標については、円の接線の式を Bx+Cy=1の形にすれば、 (B,C)が接点だったような。 --- ちなみに 神戸大学文系2002年の問題。
- gohtraw
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(l-t^2)x-2ty=1+t^2 をtの二次方程式と考えて、これを満たす実数tが存在する溜めの条件、つまり判別式>=0とおけばxy平面上の円の式が出てくるはず。 直線(l-t^2)x-2ty=1+t^2の傾きは(1-t^2)/2tで、これと円Cの接点をPとすると、Pを通る半径の傾きは2t/(t^2-1)になり、実は円Cの中心はxy平面の原点にあるので、接点Pは直線y=2tx/(t^2-1) 上にある。二つの直線の式を連立させれば接点が求められるかな?
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