両辺ともに0以上なので、2乗して同値である

質問

| 1－2m | = √m^2＋1 ‐(1)
両辺ともに0以上なので、2乗しても同値であるから
1－4m＋4m^2 = m^2＋1 ‐(2)
(※mは実数です)

ある問題の模範解答で、上記のような記述があったのですが、
「両辺ともに0以上なので、2乗しても同値であるから」
という説明は必要なのでしょうか？？
つまり、(2)の式が欲しいだけなのに、(1)⇔(2)を宣言する必要はあるのか、(1)⇒(2)だけで良いのではないのか、という疑問です。
実際、

(ある式が成り立つならば、その式の両辺の正負がどうであれ、その式を両辺2乗した式も成り立つので)
| 1－2m | = √m^2＋1 ‐(1)
両辺を2乗して
1－4m＋4m^2 = m^2＋1 ‐(2)

これではダメなのでしょうか？

また、もうひとつ、以上とは関係ない質問なのですが、
| 1－2m | = √m^2＋1
この式は両辺がともに0以上ですが、
「両辺がともに0以上」の「ともに」が良く分かりません。
片方の辺が0以上ならば、「=」で結ばれたもう片方の辺も0以上なのでは？と思います。
あるいは、例えば、左辺が正で、右辺が負であるというような式もあるのですか？

回答No.3

Quattro99 · ベストアンサー

|x+1|=2xが成り立つなら、その両辺をそれぞれ2乗した(x+1)^2=4x^2もなりたちます。これを解いたx=1、-1/3は当然(x+1)^2=4x^2では成り立ちますが、元の|x+1|=2xでは必ずしも成り立ちません。両辺を2乗して解を求めても、元の式の解にはならない場合があるということです。つまり、両辺を2乗して解を求めればそれが元の式の解となるには何か条件が必要ということです。

|x+1|=2xが成り立つなら、右辺ももちろん0または正ですが、右辺と左辺をばらばらに考えた場合、左辺は常に0または正ですが、右辺は負にもなり得ます。
これに対し、| 1－2m | = √m^2＋1は右辺も左辺もそれぞれをばらばらに考えても常に0または正です。
これが「ともに」の意味です。

a^2=b^2に「aもbもともに0以上」あるいは「aもbもともに0以下」という条件があればa=bとなります。この条件がないとa=-bのときも出てきてしまいます。
元の問題では、「aもbもともに0以上」という条件が満たされているため、a^2=b^2を解けば、その解ではa=bが成り立つわけです。

お礼

解説ありがとうございます!
完全に理解できました!!
もう疑問点はありません
非常に解かりやすく説明していただき、ありがとうございました(_ _)

回答No.2

Quattro99

#1さんのおっしゃるとおりです。
例えば、|x+1|=2xという方程式を考えてみてください。

補足

回答ありがとうございます。

|x+1|=2x
これは、、どう考えればいいのでしょう？
この先を解説していただけないでしょうか？？
お願いします

回答No.1

koko_u_u

> これではダメなのでしょうか？

その後の展開として、m を求めて、それが逆に (1) を満たすことを
結局は言明しなければならなくなるだけだと思いますよ。

> 例えば、左辺が正で、右辺が負であるというような式もあるのですか？

当然、そのような「成立しない」式も存在します。
重要なのは、そこから何を得るかですね。

お礼

回答ありがとうございます。

なるほど、求まったmの値(ここではm = 0, 4/3)が(1)を満たさなくてはいけないのですね！
だから、(1)⇔(2)を宣言しておかないと、(2)を解いて出てきたmの値をそのまま答えとすることができないのですね！
解かりました。

やはり、左辺が正、右辺が負の式は成立しないのですか。
では、成立する式のなかでは、
「片方の辺が0以上ならば、もう片方も0以上」
は正しいのですよね？
とすると「ともに0以上なので」という表現は、「片方が0以上なので(もちろんもう片方も0以上だから)」というとぎこちないので、まとめて「ともに」と言っているだけ、と解釈して問題ないでしょうか？