累乗 累乗根 同値性 その2

質問

累乗と累乗根の同値性について前回質問させて頂きました。
前回の質問内容：http://okwave.jp/qa/q7768635.html

前回、ご回答頂いた内容で、
＞指数を実数の範囲にして同値性を保ちたいなら、
＞x,y を正数だけに制限しておくのが安全です。
と教えて頂きました。

y=x^pにおいて無理数乗や、無理数乗根を考える場合はx,yは正数とすれば
同値性は保たれる理由はどうしてでしょうか？

指数が偶数の場合に、同値性が崩れると理解しています。
無理数は偶数ではないから、同値性が崩れることはないと考えているのですが
そんなに単純ではないのでしょうか？

x,yが正数でない場合（x,yが負の数）は同値性は保たれないのでしょうか？

以上、ご回答よろしくお願い致します。

回答No.2

kabaokaba · ベストアンサー

とりあえずさ・・・手を動かそうよ

xを実数とする
x^p = a
p<0の場合は(1/x) を考えればいいから省略

pが整数の場合ってのは，
完全に解が分かる．だからxが正だろうが負だろうが問題ない
x,y>0だけで考えれば
x^p=y^p と x=y が同値になる

分数の場合は？地道にp/q (p,q>0, p,qは互いに素）として
整数のケースに帰着させるように考える．
この場合も x,y>0 とすれば
x^p=y^p と x=y が同値になる

x=0とかy=0はとりあえずややこしそうだから考えない
x<0とかy<0のケースもそう．
あくまでもx,y>0の場合だけで他のケースは考えてない

無理数乗は場合は？
まずは，すでに指摘があるように「無理数乗」の定義をどうする？
これがわかってないとだめ．
わかってれば，極限の議論でわかる．

根本的には確かに「(-1)^2=1」があるんだけども
これを直接理由つけにしてOKの人ってのは
流れを理解している人だけでしょう

補足

いつもご回答ありがとうございます。

無理数乗の定義ですが、
pを無理数として、p=lim[n→∞]pn（｛pn｝は有理数の数列）とするとき、
x^p=lim[n→∞]x^pn
と定義されます。

xが正の実数だと同値性は保てて、負の実数だと同値性が保てないと
言うのがわかりません・・・

負実数の無理数乗はなぜ多価関数になるのでしょうか？

以上、お手数をお掛けしますがご回答よろしくお願い致します。

回答No.5

Tacosan

同意＞#4.

なお, あたりまえなんだけど #2 へのお礼にあるように無理数乗を「有理数乗の極限」と定義するなら, 「負数の無理数乗」を考えるためには最低限「負数の有理数乗」を決めておかなきゃならない.

どうします?

回答No.4

noname#171951

＞負実数の無理数乗はなぜ多価関数になるのでしょうか？

これどこからでてきたんでしょうね？
複素数a,bに対してa^b=e^(bloga)（ただしloga=log|a|+iarga）
を意識して言っているのでしょうか？

あなたの言う「考える」は数学的に考えるというよりも法律
の勉強でもしているかのように見えます。
過去の判例がこうだったからこう解釈すべきか？みたいな。

回答No.3

misumiss

定義なんて, 気安く行なうものではありません。
試しに, e^π を御自身の方針で定義してみてください。

円周率 π に収束する有理数列の例を2つ挙げてください。
それらを (a_n), (b_n), また, e を自然対数の底として, c_n = e^(a_n), d_n = e^(b_n) とおきます。
(c_n), (d_n) がどちらも収束し, かつ lim c_n = lim d_n であることを証明してください。

どれか1つでもできないなら, 質問者さんは e^π を定義できないということです。
円周率 π に収束する有理数列は2つだけではありませんから, 仮に上の課題をクリアしても, まだ e^π を定義できたことにはなりませんけれどね。

回答No.1

Tacosan

そもそも「無理数乗」や「無理数乗根」をどう定義しているのですか?