- ベストアンサー
ｎ乗根とｎ乗の同値性
- 曲線Cの面積を求める問題について、解答の過程に疑問があります。
- 問題の解答で使用されている式について、その成立条件や同値性について確認が必要です。
- 特に、曲線Cと式(1)が同値であることを示す必要があります。
- みんなの回答 （2）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
その他の回答 (1)
- spring135
- ベストアンサー率44% (1487/3332)
奇数乗、奇数乗根は符号も保存します。y=x^3, y=x^(1/3)のグラフを書いて考えてください。
お礼
ｙ＝ｘ＾３ではｘ＝２のとき、ｙ＝８ですが、ｙ＝ｘ＾（１/３）ではｘ＝２のとき、ｙ＝２＾（１/3) で、ｙ＝ｘ＾３ならばｙ＝ｘ＾(1/3)は成り立ちません。 こういうことを言っているのではないのでしょうか?（何を確かめるために２つのグラフを描くのでしょうか?）
関連するQ&A
- 同値変形について。
同値変形について質問です。 「焦点がF(3,0) F´(-3,0)で点A(-4,0)を通る楕円の方程式を求めよ。」 という問題なのですが、参考書の解答では 楕円上の任意の点をP(x,y)とし、 AF+AF´=8から、 √{(x-3)^2+y^2}+√{(x+3)^2+y^2}=8 両辺を２乗して整理すると、16√{(x+3)^2+y^2}=12x+64 両辺を4で割って、更に２乗すると 16(x^2+6x+9+y^2)=9x^2+96x+256 これを整理して、x^2/16 + y^2/7 = 1 という風に、答えを導いているのですが、 変形過程で２度「２乗」しています。 ２乗すると同値ではなくなるというのは知っているのですが、 この場合は同値ではなくならないのでしょうか？ 問題を解くときに、両辺を２乗していいときと悪いときがあるらしいのですが、それがよくわからなくて・・・。 また、どのようなときに、２乗しても同値性を失わないのでしょうか？ どのようなときに２乗すると同値ではなくなるのでしょうか？ あと、自分の知っている同値ではない変形は、「両辺を２乗する」ということのみなのですが、 他に気をつけたほうがいい、同値性を失ったりする変形には、どのようなものがあるのでしょうか？ 今までここあたりをうやむやにして数学を解いていたため、たまに納得がいかなかったりします。。 どなたか教えてください＞＜
- 締切済み
- 数学・算数
- ２乗しても同値性が崩れないときと崩れるとき
２乗しても同値性が崩れないときともう一つの解が割り込んできて同値性が崩れるときはそれぞれどのような場合なのでしょうか。よく方程式の両辺を２乗してルートをはずしたり、代入しやすくしたりすると思うのですが、問題をやっていて「ここで２乗してもいいのかな？」といつも迷ってしまいます。このようにならないためにはどのようなことに気をつければよいのでしょうか。 例）；２乗してもいいとき X=-1/2(α+β){[(α+β)^2]-1}・・・(1) Y=3/4[(α+β)^2]+3/4・・・(2) ここでXとYの関係式を作るために(2)を(α+β)^2=・・・の形にして置いて・・・(2)”、(1)の両辺を２乗して(α+β)^2を作り出しておいてから(2)”を(1)に代入するというものです。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 累乗 累乗根 同値性 その2
累乗と累乗根の同値性について前回質問させて頂きました。 前回の質問内容：http://okwave.jp/qa/q7768635.html 前回、ご回答頂いた内容で、 ＞指数を実数の範囲にして同値性を保ちたいなら、 ＞x,y を正数だけに制限しておくのが安全です。 と教えて頂きました。 y=x^pにおいて無理数乗や、無理数乗根を考える場合はx,yは正数とすれば 同値性は保たれる理由はどうしてでしょうか？ 指数が偶数の場合に、同値性が崩れると理解しています。 無理数は偶数ではないから、同値性が崩れることはないと考えているのですが そんなに単純ではないのでしょうか？ x,yが正数でない場合（x,yが負の数）は同値性は保たれないのでしょうか？ 以上、ご回答よろしくお願い致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ｎ乗の同値性について（長文です）
まず、２乗から a=b⇒a^2=b^2だが、a^2=b^2⇒a=bではない。 このことの説明として、P＝｛a,b｜a^2=b^2｝、Q＝｛a,b｜a=b｝とすると、 P＝｛a,b｜aとｂの絶対値が等しい｝と言い換えられる、よって、たとえば、 P｛a,b｜(2,2),(2,-2)(-2,2)(-2,-2)}ですが、Q=｛a,b｜（２，２）、（－２、－２）｝ですから、Pの（２、－２）（－２，２）はPを満たしません。 P⇔Qとするためには、a,bの符号が等しくなるようなという条件をつける。 よくある問題として「√（ｘ－１）＝ｘを解け。」を考える。 この場合、元の方程式√（ｘ－１）＝ｘは考えずらいので、同値変形したい。 まず、√内についてｘ≧１であり、このとき、右辺のｘについて左辺≧０だから右辺≧０である必要があり、ｘ≧０ よって、全体としては、ｘ≧１という条件のもとでは両辺を２乗したｘ－１＝ｘ＾２を満たすｘは元の「√（ｘ－１）＝ｘを満たす。 では、別の説明として、関数のグラフを考える。 ｙ＝ｘ＾２というグラフはｙの値を１つ決めるとｘの値が２つ対応する。 （例えば、ｙ＝１ならば、ｘ＝±１のように） 先ほどのa^２＝ｂ＾２⇒a=bについて、先ほどの(2,2),(2,-2)(-2,2)(-2,-2)と正負それぞれのペアがでてくるのはそれが原因。 次に３乗についてです。 a=b⇒a^3=b^3が成り立つの、ではa^3=b^3⇒a=bかどうか？ これはP={a,b｜a^3=b^3｝＝｛a,bが相等しいab}ですから、P⇔Q 先ほどの上での関数の説明を試みると、 y=x^3はｙを１つ対応させるとｘは１つ対応します。 （例えばｙ＝１ならばｘ＝１、ｙ＝－８ならばｘ＝－２） よってa^3=b^3についてもa,bが１つずつ対応するので、当然aとｂは相等しい。 以上の説明でおかしいところ、補足すべきところがあれば教えてください。 （自分はこのｎ乗問題は少し変えられただけで混乱してしまうので、きちんと自分で説明できるようにしておきたいです)
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 同値性の崩壊
定円x^2+y^2=r^2の周上を点Ｐ(x,y)が動くとき,座標が(y^2-x^2xy)で表される点Ｑはどんな曲線を動くか。 x^2+y^2=r^2から,P(x,y)とするとx=rcosΘ,y=rsinΘと表される。Q(X,Y)とすると X=y^2-x^2=-r^2cos2Θ Y=r^2sin2Θ よってX^2+Y^2=r^4(cos^22Θ+sin^22Θ)=r^4 ゆえに,点Ｑは円x^2+y^2=(r^2)^2の周上を動く。 教えてほしいところ この問題を解き方が違和感があります。 X=y^2-x^2=-r^2cos2Θ Y=r^2sin2Θ を両辺正でなければ２乗してしまうと同値性崩れますよね？ また、２乗したものをそのまま足す場合、同値性は崩れる心配はないんですか？？ この問題を上のように解いて、同値性が崩れる心配がないもしくは同値性が保たれるのは自明である理由を教えてください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 同値関係について教えてください。
同値関係について質問です。 『X＝{(x,y)|0≦x≦2,0≦y≦1}において、 点(0,y)と点(2,y)(0≦y≦1)を同一視し、 点(x,0)と点(x,1)(0≦x≦2)を同一視して得られる空間』 というのは 『X上の同値関係～として (a,b),(c,d)∈Xについて (a,b)～(c,d) ⇔ (a,b)=(c,d) または {a,c}={0,2}かつb=d または a=cかつ{b,d}={0,1} と定義したとき,同値関係～によるXの商位相』 と書き換える事が出来るのではないか？と考えたのですが、上のように決めた関係～は推移律を満たさないので同値関係になりませんでした。 そこで、質問なのですが、この場合どのように同値関係を定義すればよいのでしょうか？ 『(a,b),(c,d)∈Xについて (a,b)～(c,d) ⇔ (a,b)=(c,d) または {a,c}={0,2}かつb=d または a=cかつ{b,d}={0,1}』 のような表し方で書いた場合
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 高校教科書、楕円の導出、なぜ同値関係考慮しない？
高校教科書では、 2定点を(c,0)、(-c,0)とし、2定点からの距離の和を2aとして、式をたて、 2回2乗することで x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 を導出しています。 http://ja.wikibooks.org/wiki/%E9%AB%98%E7%AD%89%E5%AD%A6%E6%A0%A1%E6%95%B0%E5%AD%A6C_%E5%BC%8F%E3%81%A8%E6%9B%B2%E7%B7%9A 高等学校数学C 式と曲線 を参照 しかし、2乗するときには、両辺の符号が同符号であることを確かめないと、同値関係が成立しないと思うのですが。 両辺の符号が同符号であることを確かると、具体的にはどうなるのでしょうか。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 曲線の極座標表示【同値の式変形】
xy座標平面で2点A（a,a)，B（-a,-a）からの距離が一定値2a^2であるような点Pの軌跡をCとします。 Cを直交座標表示すると， x^4+y^4+2x^2y^2-8a^2ｘy=0 となります。 質問 原点を極とし，x軸の正の部分を始線とする極座標（r,θ）でこの曲線を表したいです。x=rcosθ，y=rsinθを代入すると， r^2(r^2-4a^2sin2θ）=0…(1) といったんなりますが，最終的には r^2-4a^2sin2θ=0…(2) となります。式(1)と(2)が同値であるのはなぜでしょうか。僕の理解ではr≠0だからとなりますが，正しいですか。正しいとしたら，なぜr≠0といえるのでしょうか。 よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
お礼
結論的にはｙ/ｂ＝｛１－3^√（ｘ/a）｝＾３⇒∛(x/a)+∛(y/b)=1が成り立つからｙ/ｂ＝｛１－3^√（ｘ/a）｝＾３⇔∛(x/a)+∛(y/b)=1が成り立つ。ということでしょうか?
補足
二乗（偶数乗）のときにはなぜ同値性を考える必要があるのかを 理解しましょう ＞これまでも何度も２乗の同値性の議論については悩み質問してきたのですが、それでもだめなのかもしれません。 別の質問をするので、お答えいただけないでしょうか?