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2乗しても同値性が崩れないときと崩れるとき

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お礼率 86% (456/526)

2乗しても同値性が崩れないときともう一つの解が割り込んできて同値性が崩れるときはそれぞれどのような場合なのでしょうか。よく方程式の両辺を2乗してルートをはずしたり、代入しやすくしたりすると思うのですが、問題をやっていて「ここで2乗してもいいのかな?」といつも迷ってしまいます。このようにならないためにはどのようなことに気をつければよいのでしょうか。

例);2乗してもいいとき

X=-1/2(α+β){[(α+β)^2]-1}・・・(1)
Y=3/4[(α+β)^2]+3/4・・・(2)

ここでXとYの関係式を作るために(2)を(α+β)^2=・・・の形にして置いて・・・(2)”、(1)の両辺を2乗して(α+β)^2を作り出しておいてから(2)”を(1)に代入するというものです。
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質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.8
レベル8

ベストアンサー率 22% (13/58)

OKじゃ!x実数⇒t実数はよいが、その逆、tが実数→x実数はかならずしも成り立たない。このことに気がつくだけでも良かったのだが、ちゃんと解答を作るとは!

x実数⇔t実数かつ(tは正または0)  
つまり、式の一部を他の文字に置き換えると、同値関係が崩れることがあるということ。解決法は、おきかえた式に戻って検討するだけ。解答はs-wordさんのでOK!

<まとめ>
同値関係が崩れる可能性のあるパターン
1.分母を払うとき
2.等式、不等式の両辺を平方するとき
3.2つの等式、不等式を加減するとき
4.式の一部を他の文字で置き換えるとき

s-wordさんの謎もこれで解決したはず。2乗(平方)したら、同値関係は崩れると思ったほうが良い。代入(加減)も同じ。(もちろん、崩れない場合もある)解決法は、平方の場合は、最初の条件にもどって検討する。代入(加減)の場合は、代入した式に戻って検討する。

ちなみに、7の問題は大変な良問で、いろいろな解法が出来ます。私はパラメ-タaを分離して、解決しました。これは、受験数学のテクニックのひとつで、aとxが伴って変わらくて、しかもaとxを分離することが容易な場合に威力を発揮します。また、xについての二次方程式でもあるので、判別式を利用して解くことも出来るし、さらにs-wordさんの解で、特殊な絶対不等式を使うことも出来る。この絶対不等式は、私は気づきませんでした。問題の型を見た瞬間に、パラメタ分離→微分して調べるという構図が浮かんでしまったからです。某料理会の○皇様が、料理は工夫しすぎるということはない。さらなる工夫をもって精進せいよなどどと言っていたのを思い出しました。まったく数学は奥が深いのう。
お礼コメント
s-word

お礼率 86% (456/526)

お返事どうもありがとうございます。何度もお返事いただいてどうもありがとうございました!大変参考になりました。これからもこのスレッドを参照して勉強していこうと思います。さようなら。
投稿日時 - 2002-04-05 08:10:49
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  • 回答No.2
レベル8

ベストアンサー率 22% (13/58)

同値の基本を解説しますが、かなり長くなるのでまだ消さないで下さい。 ...続きを読む
同値の基本を解説しますが、かなり長くなるのでまだ消さないで下さい。
お礼コメント
s-word

お礼率 86% (456/526)

KaitoTVGAMEKOZOUさんこんにちは。9もパターンがあるんですね。今までまったく気にしないでいましたので、全然知りませんでした。興味深いお話の連続です。このスレッドはずっと置いておきますね。お暇なときに続けていただければ幸いです。
投稿日時 - 2002-03-30 00:21:34
  • 回答No.1
レベル14

ベストアンサー率 40% (1358/3355)

二乗する時、両辺を確認して、どちらか片方でいいですから 取りうる数値の範囲を確認して下さい。 これが正と負の両方になるようならダメ、常に正ならokです。 ただし、工学系の計算では、とりあえず解を求めてしまってから ありえない数値を解として採用しないという方法をとります。 複素関数でいちいち解の取りうる範囲なんか検証していられないので。 ...続きを読む
二乗する時、両辺を確認して、どちらか片方でいいですから
取りうる数値の範囲を確認して下さい。

これが正と負の両方になるようならダメ、常に正ならokです。

ただし、工学系の計算では、とりあえず解を求めてしまってから
ありえない数値を解として採用しないという方法をとります。

複素関数でいちいち解の取りうる範囲なんか検証していられないので。
お礼コメント
s-word

お礼率 86% (456/526)

tntさんこんにちは。お返事どうもありがとうございます。ちょっと疑問に思ったところがあるのでもう一度お聞きしてもよろしいでしょうか。

>二乗する時、両辺を確認して、どちらか片方でいいですから 取りうる数値の範囲を確認して下さい。
これが正と負の両方になるようならダメ、常に正ならokです。

2乗するときに「正と負の両方になるようならダメ」となっていますがなぜだめなのか分かりません。逆に2乗すると正と負の両方の解をもつように変身してしまうから「正か負の一方のみの場合はダメで正と負の両方になるようならOK」だと思ったのですが・・・。どこが間違っているのでしょうか。よろしくお願いします。
投稿日時 - 2002-03-29 23:59:57
  • 回答No.3
レベル8

ベストアンサー率 22% (13/58)

1.どこで同値が崩れるか? 分数「方程式」 {(1/(x-1)}-{2/(x+1)(x-1)}=1/3 …(1)を解け! (1)に3(x+1)(x-1)をかけると、 3(x+1)-6=(x+1)(x-1) …(2) 整理して、 x^2-3x-2=0 (x-1)(x-2)=0 …(3) ∴x-2=0 またはx-1=0 …(4) x=2または1 …(5) さて、同値関係がどうなっているか ...続きを読む
1.どこで同値が崩れるか?
分数「方程式」 {(1/(x-1)}-{2/(x+1)(x-1)}=1/3 …(1)を解け!
(1)に3(x+1)(x-1)をかけると、
3(x+1)-6=(x+1)(x-1) …(2)
整理して、
x^2-3x-2=0
(x-1)(x-2)=0 …(3)
∴x-2=0 またはx-1=0 …(4)
x=2または1 …(5)

さて、同値関係がどうなっているか調べてみましょう。
(1)⇒(2)は成り立つ。しかし、(2)⇒(1)は成り立つかはわからない。というのは、(x+1)(x-1)≠0が保障されていないから、(2)⇒/(1)となる。(注;~が成り立たないという記号がないため、⇒/とした。)さらに、(2)⇔(3)⇔(4)⇔(5)は良い。
だから、x=2のみが、この問題の根である。

つまり、上の変形では分母を払う変形のとき、同値関係が崩れるので、
「まとめ 分数・無理・対数方程式などで、 
 (1)⇒(2)、(2)⇒/(1)で計算出来れば、余計な根が入ってくる
 (1)⇔(2)     で計算できれば、余計な根は入らない 」

これで、全体の9分の1の内容は終わった。これから昼食なので、後で残りの8/9やりましょう。

   
  • 回答No.4
レベル8

ベストアンサー率 22% (13/58)

2.同値を保つ方法 (1)⇒(2)、(2)⇒/(1) の変形では結果(2)をはじめの条件(1)に戻って吟味する。 (1)を満たすものはとり、満たさないものは捨てる。NO1の方も同じこといってます。 3.次の方程式を解け x+1=√(25-x^2) 多くの参考書では、(1)=(2)⇒(1)^2=(2)^2 しかし、逆は必ずしも成り立たないので、2の同値を保つ方法と同じように、最初の条件にもどって ...続きを読む
2.同値を保つ方法
(1)⇒(2)、(2)⇒/(1) の変形では結果(2)をはじめの条件(1)に戻って吟味する。
(1)を満たすものはとり、満たさないものは捨てる。NO1の方も同じこといってます。

3.次の方程式を解け x+1=√(25-x^2)
多くの参考書では、(1)=(2)⇒(1)^2=(2)^2 しかし、逆は必ずしも成り立たないので、2の同値を保つ方法と同じように、最初の条件にもどって吟味すると書いてあるが、私はいきなりグラフを書いて求めます。

<解>
y=√(25-x^2)のグラフは、半径5の円の上側であり、y=x+1のグラフと、「明らかに」0<x<5の範囲の中のどこか一点のみで交わる。
よって、0<xより、両辺を二乗しても同値関係は保たれるので、
(x+1)^2=(25-x^2)
⇔2x^2+2x-24=0
⇔x^2+x-12=0
⇔(x+4)(x-3)=0
⇔x=-4,3
この2つの根の中で0<x<5を満たすのはx=3なので、答えは3である。

この解法の方が後戻りしなくていいし、視覚的なので楽です。

4.対数方程式は、真数>0の条件を頭に叩き込みましょう。それだけです。

5.同値が崩れる原因を探れ
1で分数方程式をやりましたが、同値を保たせる方法があります。それは、条件をつけて足せばよい。

{(1/(x-1)}-{2/(x+1)(x-1)}=1/3 
⇔3(x+1)-6=(x+1)(x-1) かつ「x≠-1,x≠1」

つまり、 「x≠-1,x≠1」の条件がないから、同値関係が崩れる。だったらその条件をつけてやれば、同値関係は保たれるではないかということです。


あとは、夜にやろう。
  • 回答No.6
レベル14

ベストアンサー率 57% (1014/1775)

「2乗してもいいとき」って、何が「いい」のかがはっきりしていないんじゃありませんでしょうか。KaitoTVGAMEKOZOUさんは一般論を詳しくやって下さってるみたいなので、stomachmanは、挙げていらっしゃる例が果たして「いい」のかどうかを検討してみましょう。 めんどくさいから c=(α+β) と書くことにしましょう。 X=-(1/2)c{c^2-1}・・・(1) Y=3/4[c^ ...続きを読む
「2乗してもいいとき」って、何が「いい」のかがはっきりしていないんじゃありませんでしょうか。KaitoTVGAMEKOZOUさんは一般論を詳しくやって下さってるみたいなので、stomachmanは、挙げていらっしゃる例が果たして「いい」のかどうかを検討してみましょう。

めんどくさいから
c=(α+β)
と書くことにしましょう。
X=-(1/2)c{c^2-1}・・・(1)
Y=3/4[c^2]+3/4・・・(2)
でまず、
(4/3)Y-1=c^2・・・(2)'
これは(2)と全く同じ意味です。一方、
X^2=(1/4)(c^2)({c^2-1}^2)・・・(1)'
はどうか。(1)が成り立つなら(1)'も確かに成り立ちます。が、(1)'が成り立つからと言って(1)は言えません。実際
X=(1/2)c{c^2-1}・・・(1)*
であっても(1)'は成り立ちますから、(1)'からは「(1)または(1)*である」としか言えない。(こんなことはお分かりですよね、きっと。)

で、(2)'を(1)'に代入したら
X^2=(1/4)(4/3)Y-1)({4/3)Y-1-1}^2)・・・(3)
これはどういうことを意味しているか。「(1)と(2)が共に成り立つのなら(3)も成り立つ」と言っているんです。しかし(1)*と(2)が共に成り立つのであっても(3)は成り立ちます。
 言い換えれば、(3)と(2)から(1)を導くことはできません。(3)と(2)からは「(1)または(1)*」という答しか出ない。それでもともかく「(1)と(2)が共に成り立つのなら(3)も成り立つ」んですから、(3)は誤りではありません。確かにXとYが満たす関係を示してはいる。が、(1)と(2)を並べた表現よりも情報が失われています。はじめ「(1)と(2)である」と言えた物が、(3)の形では「(1)または(1)*、それと(2)である」としか言えなくなっちゃったからです。従って、初めと同じことを言いたければ、(3)だけでは不足で、「(3)と(1)が共に成り立つ」と言わなくちゃいけません。(3)と(1)が共に成り立つのなら、間違いなく(1)と(2)が共に成り立つ事が言えて、(1)*は成り立たない。

 この事情をもっと詳しくチェックしてみましょう。まず(1)のことは忘れて、たとえばXをYで表そうとして(3)の両辺の平方根を取ると
X=±√[(1/4)(4/3)Y-1)({4/3)Y-1-1}^2)]・・・(4)
ってことになります。±ってのは、Xが一通りには決まらないということに他なりません。
じゃあ(4)は何を言っているのか。それを調べるために(4)に再び(2)'を代入してみましょう。
X=±(1/2)√[(c^2){c^2-1}^2]
=±(1/2) |c(c^2-1)|・・・(5)
となります。(5)は複号をばらしてみると
X = (1/2) |c(c^2-1)|・・・(5.1) または
X = -(1/2) |c(c^2-1)|・・・(5.2)
という意味です。
・c≦-1 または 0≦c≦1 ならばc(c^2-1)≦0 であり、(5.1)は(1)と同じ、(5.2)は(1)*と同じ。
・-1≦c≦0 または 1≦c ならばc(c^2-1)≧0 であり、(5.1)は(1)*と同じ、(5.2)は(1)と同じ。

 本来の(1)とウソの(1)*とがややこしく混ざってしまっていますね。ま、そういうわけでして、結局
> 例);2乗してもいいとき
というのは、(3)式までで話をおしまいにしたからに過ぎません。
お礼コメント
s-word

お礼率 86% (456/526)

stomachmanさんこんにちは。お返事感謝します。ゆっくりと論を進めてくださるのでうんうんとうなずきながら読むことができました。

>従って、初めと同じことを言いたければ、(3)だけでは不足で、「(3)と(1)が共に成り立つ」と言わなくちゃいけません。(3)と(1)が共に成り立つのなら、間違いなく(1)と(2)が共に成り立つ事が言えて、(1)*は成り立たない。

もしcが正の場合は、Xは負だから(3)の横に(x<0)と書けば良いんですよね。でもこの場合はcがそういった指定がないから(5)において(1)のXとおなじになるように帳尻をあわせて動けるということですよね。とんだ勘違だったらどうしよう・・・。どうもありがとうございました。
投稿日時 - 2002-04-03 09:51:43
  • 回答No.5
レベル8

ベストアンサー率 22% (13/58)

5の追加 等式の両辺に、文字式を掛ける場合、 一般に、A=B⇒mA=mB だが、逆は必ずしも成り立たない。つまり、mA=mB⇒/A=B である。 同値を保つには、m≠0で、修正し、 A=B⇒mA=mB⇔mA=mB かつ m≠0 6.x^2+2x+m=0 …(1) と x^2+4x+3m=0 …(2) との共通根を求めよ。 共通根は2式を同時に満足するxの値である。だから、これをαと ...続きを読む
5の追加
等式の両辺に、文字式を掛ける場合、
一般に、A=B⇒mA=mB だが、逆は必ずしも成り立たない。つまり、mA=mB⇒/A=B である。

同値を保つには、m≠0で、修正し、
A=B⇒mA=mB⇔mA=mB かつ m≠0

6.x^2+2x+m=0 …(1) と x^2+4x+3m=0 …(2) との共通根を求めよ。

共通根は2式を同時に満足するxの値である。だから、これをαとすると、
α^2+2α+m=0    (1)’
α^2+4α+3m=0   (2)’
(1)'-(2)’より、
α=-m    

上記の、この解法をした人は間違います。というのは、たとえば、共通根を持たない2つの方程式、
x^2+x+1=0 ,x^2-x-6=0  に、共通根をもたせてしまうからです。じゃあどうしたらよいか。

A=0かつB=0 ⇒ A-B=0  は正しい。しかし、逆は成り立ちません。
このように、一般に2つの等式(1)、(2)を加えたり、引いたりして得られた(3)の式は、(1)、(2)と同値ではなくなるから、共通根を求めるに当たって(3)を論じては駄目です。
では、どうすればよいか。
A=0かつB=0 ⇔ A-B=0 かつ A=0 とすればよいね。

よって、2つの方程式を加減するとき、一般に、
A=0かつB=0⇒A+B=0 は成り立つ。しかし、逆の A+B=0⇒/A=0かつB=0  は成り立たない。
しかし、A=0かつB=0⇔A+B=0かつA=0 とすれば成り立つ。例題の解はまかせます。

きょうは、ちょっと疲れているし、他にもやることがあるので、残りの3つの解説はやらないかも知れません。よって、消さないでね。
  • 回答No.7
レベル8

ベストアンサー率 22% (13/58)

stomachmanさん、おひさしぶりです。 7.3x^4+ax^2+12=0  …(1)の根がすべて実数であるようにaの値の範囲を求めよ。 <私がよくやる解> x=0は、(1)式の解ではない。そこで、(1)式を0<x^2で割ると、 3x^4+ax^2+12=0 ⇔3x^2+a+12/x^2=0 ⇔3x^2+12/x^2=-a ⇔-3x^2-12/x^2=a   …(2) よっ ...続きを読む
stomachmanさん、おひさしぶりです。

7.3x^4+ax^2+12=0  …(1)の根がすべて実数であるようにaの値の範囲を求めよ。

<私がよくやる解>
x=0は、(1)式の解ではない。そこで、(1)式を0<x^2で割ると、
3x^4+ax^2+12=0
⇔3x^2+a+12/x^2=0
⇔3x^2+12/x^2=-a
⇔-3x^2-12/x^2=a   …(2)

よって、左辺=g(x) とすると、問題は、曲線y=g(x)とy軸に平行な直線y=aが交点をもつように、aの値の範囲を求めよと言い換えられる。つまり、文字定数分離のやり方だ。

この解法は視覚的に、図形を書いて求められるので楽だ。ちなみに、答えはa≦-12である。
しかーし!この解法は数(3)入ってるので、文系には駄目だ。そこで、本題に入ります。

3x^4+ax^2+12=0 …(1)
x^2=tとおくと、
3t^2+at+12=0 …(2)
x実数⇒t実数だから、
判別式D≧0
⇔a^2-124≧0
⇔(a+12)(a-12)≧0
⇔a≦-12,12≦a

ありゃ?答えが数(3)のと同じにならない!何故でしょう。わかったらお礼に書いてくれ。続きはそれから。ちなみに、この項目で、同値のまとめをやります。もちろん、s-wordさんの、本来の質問の答えも、ここに含まれるでしょう。あと、9つではなく、7つですみました。
ひょっとすると、stomachmanさんのとかぶるかも…。
お礼コメント
s-word

お礼率 86% (456/526)

KaitoTVGAMEKOZOUさんお久しぶりです。またきてくださってどうもありがとうございます。ゆっくり確認しながら進めてくださるので苦手な私にとってはすごくわかりやすくて助かります!じゃあさっそく考えた答えを書いてみます。

なぜ違うか、それはx^2=tとおくとのところでtの範囲を無視しているからであーる。x^2>0なのでt≧0なのであーる。
よって求める解は3t^2+at+12=0 がt≧0の範囲で実数解をもつことといいかえられるのであーる。(乗ってきたので最後まで書いちゃいますね。)

ここでグラフから求めることもできるけど解と係数の方が早いのでそちらにします。

判別式D≧0
⇔a^2-124≧0
⇔(a+12)(a-12)≧0
⇔a≦-12,12≦a・・・(1)

(2)の実数解をα,βとおくと条件から
α+β=- a/3
αβ=4
これが両方0または正になればいいから、
- a/3≧0
⇔a≦0・・・(2)
もとめる範囲は(1)かつ(2)よりa≦-12

それと、<私がよくやる解> をみてすごいと思いました。そんなやり方もあるんですね、始めてみました!ちなみにおわかりだと思いますが文系でも相加相乗を使えばその方法でも答えを出せますね。視覚的に図形を書いて求められる長所が消えてしまうから仰らなかったんだと思いますが。
投稿日時 - 2002-04-03 09:52:18
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