p2乗＝x3乗＋ｙ3乗のときの素数ｐを求める

質問

次の問題がわかりません。教えてください。

自然数x, y を用いて，
p^2 = x^3 + y^3 (1)
(^2, ^3 はそれぞれ2乗，3乗を表す）のとき，
素数pを全て求めよ。
また，このときのx, yを全て求めよ。

(1)式の左辺が2乗ですから，右辺がある数の2乗になればいいのかな，と思うのですが，
これ以上わからず，
ご回答のほど，よろしくお願いいたします。

回答No.2

FT56F001 · ベストアンサー

1) x+y=1, x^2-xy+y^2=p^2
2) x+y=p, x^2-xy+y^2=p
3) x+y=p^2, x^2-xy+y^2=1
x≦yと仮定して一般性を失わない。

ケース1)
自然数x,yの和は1+1=2以上なので，1)のケースはなし。

ケース2)
x+y=(x+y)^2-3xy(=p)
よって，(x+y)^2-(x+y)=3xy
ここで，相乗平均≦相加平均より，
xy≦(x+y)^2/4
(x+y)^2-(x+y)≦3(x+y)^2/4
(1/4)(x+y)^2≦(x+y)
x+y≦4
(x,y)=(1,1),(1,2),(2,2)が考えられる。
このうち
(x,y)=(1,2)，すなわち1^3+2^3=3^2
は解である。
1^3+1^3=2，あるいは
2^3+2^3=16，は素数の二乗ではない。

ケース3) x+y=p^2，x^2-xy+y^2=1
(x+y)^2-3xy=1
(x+y)^2-1=3xy≦3(x+y)^2/4
(1/4)(x+y)^2≦1
(x+y)^2≦4
x+y≦2
x=y=1しかありえないが，1^3+1^3=2は素数の二乗ではない。

よって答えは
p=3の場合のみでx=1,y=2またはx=2,y=1

お礼

大変，素晴らしい回答です！
このような整数論の王道をいくような証明過程は，私の今後の糧となります。
ありがとうございます。

回答No.1

FT56F001

未解決・アイデア段階です。

x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)

右辺の()内は自然数の演算ですから，二つとも整数です。
これが素数pの二乗と等しくなるので，
1) x+y=1, x^2-xy+y^2=p^2
2) x+y=p, x^2-xy+y^2=p
3) x+y=p^2, x^2-xy+y^2=1
のどれかになります。場合わけして，ダメな場合をつぶしていけば，
答えにたどり着くのではないかと・・・

お礼

なるほど，右辺の因数分解と場合分けですか！
大変，参考になります。