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x+yとx^2+y^2がともにpで割り切れるならばx^2+y^2はp^2で割り切れる?
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(x+y)^2 = x^2+y^2+2xy が一般に成り立ちますから，x+yとx^2+y^2がともに pで割り切れるならば，2xyはpで割り切れます。 pは２でない素数なので， xまたはyはpで割り切れる ことになり，x+yがpで割り切れることにより， 結局xもyもpで割り切れることになります。 したがって，x^2+y^2はp^2で割り切れます。 証明の本質は，（ユークリッドの）互除法です。
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有難うございます。 お陰さまで解決できました。