逆関数について

質問

逆関数は関数y=f(x)が一対一対応（全単射）のときに存在する、と習いました（高３数学）。
なら、y=x^2の場合、逆関数がy=±√xと考えるのは間違いでしょうか？定義域x>=0のとき、またはx<=0と定めたときでしかy=x^2の逆関数は存在しないのですか？
それと同じように、三角関数でも定義域を定めなければその逆関数は存在しないことになりますよね。しかし物理小事典では、逆関数が多価関数でもOKみたいなことを書いてありました。
必ず一対一対応にしなくてはいけないのか、疑問に思ったので、質問致します。回答お願いします。

回答No.2

info22 · ベストアンサー

> 逆関数は関数y=f(x)が一対一対応（全単射）のときに存在する、と習いました（高３数学）。
その通りですね。

>なら、y=x^2の場合、逆関数がy=±√xと考えるのは間違いでしょうか？
間違いでしょうね。
x=1に対してy=±1となって、yが1つだけに確定されない、つまり「一対一対応」が満たされていない。

>定義域x>=0のとき、またはx<=0と定めたときでしかy=x^2の逆関数は存在しないのですか？
その通りです。

>三角関数でも定義域を定めなければその逆関数は存在しないことになりますよね。
その通りです。

> 逆関数が多価関数でもOKみたいなことを書いてありました。
たとえば、
y=sin(x)=1/2に対して -π/2≦x≦π/2と定めて逆関数arcsin(y)を定義します。
x=arcsin(y)=π/6
となります。
ここで逆関数は1:1に対応していますね。
-π/2≦x=arcsin(y)≦π/2
ここで逆関数の関係は終わりです。
しかし、現実問題としてxは-π/2≦x≦π/2の範囲にとどまりませんので
もし、5π/2≦x≦7π/2だと
-π/2≦X=x-3π≦π/2
と置換すればy=sin(X)=1/2の逆関数の式をそのまま適用でき
X=π/6が１つだけ定まります。
X=x-3πに戻せば
x=π/6+3πが1つ定まります。
なので
5π/2≦x≦7π/2であっても
y=sinxの逆関数として
x=arcsin(y)+3π　(ただし,-π/2≦arcsin(y)≦π/2)
を1:1に対応させることができるわけです。
なのでy=1/2対する
xとして逆関数を-π/2≦arcsin(y)≦π/2の逆関数を使って
X=x±nπ=arcsin(y) (ただし、-π/2≦X≦π/2)
つまり
x=arcsin(y)±n'π
(n'=-nと置く。n,n'は調整の為の整数）
で-π/2≦x≦π/2　の範囲の外のxに対しても
yからxが求められるのです。

xとyが1:1の関係が成り立っているなら
y=sin(x)
x=arcsin(y)
とかけないと逆関数が存在しないわけですが
存在しない範囲のxに対しては
存在する範囲の逆関数arcsin(y)を使って
x=arcsin(y)±nπ
のように調整のための補正項「±nπ」を付け加えて解決するわけです。

arccos(y),arctan(x)についても1:1対応にする調整のためのそれぞれの補正項をつけて、多価関数にも対応できるようにしています。
あくまでも
arcsin(y),arctan(y),arccos(y)
については1:1の逆関数の関係となっています。

ここでは分かりやすいように逆関数の変数をyとしたままにしておきましたが
y=f(x)=sin(x)とy=g(x)=arcsin(x)の
f(x)=sin(x)とg(x)=arcsin(x)が逆関数であり
f(x)では-π/2≦x≦π/2, g(x)では-1≦x≦1が逆関数における変数xの範囲です。
f(x)=cos(x)では0≦x≦π,g(x)=arccos(x)では-1≦x≦1が逆関数における変数xの範囲です。
また、f(x)=tan(x)では-π/2＜x＜π/2,g(x)=arctan(x)では-∞＜x＜∞が逆関数における変数xの範囲です。

お礼

回答有難うございました。
参考にしてみます。

回答No.1

kabaokaba

>逆関数は関数y=f(x)が一対一対応（全単射）のときに存在する
これが正しい．これが基本．だから，
>y=x^2の場合、逆関数がy=±√xと考えるのは間違いでしょうか？
そのとおり．だから「間違い」でOK
>定義域x>=0のとき、またはx<=0と定めたときでしかy=x^2の逆関数は存在しないのですか？
そのとおり．

しかし，実はこの制限はかなりきついわけで，
「関数の定義」そのものを緩めて
値が複数あることを許容することであえて
「逆関数」を認める場合もあります．
結局「どっちだ！？」となります．
それはそのときどきの文脈に依存しますが，
関数の多価性を含めて逆関数を認めるような場合は
あまりありませんし，そういう場合はすぐわかるようになっています．

数学では結構こういうことがあります．
最初は「Aだ」といってたのに
それを広げて「AでもBでもいいよ」みたいなこと．
それぞれ文脈を考えれば誤解がないようになってます
＃すこしちがうけども，類似したものに
＃小学校では 10-100 は「できない」けど，
＃中学でマイナスを習えば「できる」になるし
＃x^2+x+1=0は中学では「解なし」だけど，複素数を習えば「解あり」
＃なんていうのがあるでしょう

お礼

なるほど。一対一対応は正しいようで安心しました。
回答有難うございました。