分位点と正規分布で成績を測る

質問

学校でのアンケート調査で自分のテスト順位を10位単位で答えてもらいました（例：１０～２０位　や５０～６０位など）

各学年で人数が違うので、７５人いる学年は７０～８０位までの回答になり、１００人いる学年は１００～１１０位のまでの回答になりました。
全員が正確に回答したら、例えば７５人いる学年ならば、
１～１０位が約１０人、
１０～２０位も約１０人、
２０～３０位も約１０人・・・・

となるはずですが、実際はバラバラな人数でした。

これら各学年の人数が違いますが、学年を超えて一括してその学力を測るには、偏差値が必要になります。
普通なら、100点満点のテストで偏差値をとりますが、
この場合成績を順位で聞いていますので、分位点で偏差値をわりふる必要があるそうです。
そして、このばあい正規分布の分布表を使う必要があるそうです。

分位点で偏差値を割り振る方法を教えてください。
そして、この場合の正規分布の分布表はどのようにだすのですか？？
その分布表をどのように使うのでしょうか。

わかりにくかったらごめんなさい。
よろしくお願いします。

回答No.2

sanori · ベストアンサー

こんばんは。

＞＞＞わかりにくかったらごめんなさい。

全然そんなことないですよ。

＞＞＞
全員が正確に回答したら、例えば７５人いる学年ならば、
１～１０位が約１０人、
１０～２０位も約１０人、
２０～３０位も約１０人・・・・
となるはずですが、実際はバラバラな人数でした。

当然です。
試験の得点分布は確率事象であり、工業製品の寸法ばらつきなどと同じことが起こります。
大概、このようなグラフになります。
http://images.google.com/images?hl=ja&rls=com.microsoft%3Aen-US&sa=3&q=%E8%A9%A6%E9%A8%93%E3%80%80%E5%BE%97%E7%82%B9%E5%88%86%E5%B8%83
そもそも、どの順位の区間でも人数が同じならば、それは正規分布ではありません。

＞＞＞
分位点で偏差値を割り振る方法を教えてください。
そして、この場合の正規分布の分布表はどのようにだすのですか？？
その分布表をどのように使うのでしょうか。

学年内での順位と、学年全体の人数の情報はあるわけですよね？
では、下記のように求めることになります。

正規分布表
http://www.biwako.shiga-u.ac.jp/sensei/mnaka/ut/normdisttab.html

＜例１＞
３０人中３位とか３００人中３０位とかの人の場合を考えます。

その人の上には、全体×０．１　の人数がいて、
その人の下には、全体×０．９　の人数がいることになります。
（この　０．１、０．９　という値が分位点に相当します。）
この場合は、正規分布表において０．９に最も近い数字を探します。
それは、0.8997 です。

0.8997 からまっすぐ左に行くと、「１．２」と書いています。
0.8997 からまっすぐ上に行くと、「＋０．０８」と書いています。
合計すると、１．２８です。
これは、平均点よりも標準偏差の１．２８倍だけ上の成績であることを示しています。

偏差値というのは、平均点を５０、標準偏差を１０　としたものです。
ですから、この人の偏差値は、
５０　＋　１．２８×１０　＝　だいたい６３
です。

＜例２＞
３０人中２７位とか３００人中２７０位とかの人の場合を考えます。

その人の上には、全体×０．９　の人数がいて、
その人の下には、全体×０．１　の人数がいることになります。
この場合も、正規分布表において０．１に最も近い数字を探すことになりそうですが、
０．５未満の数字は表に載っていません。
その代わり、「下から数えて何位か」のような考え方をします。
（上記の正規分布表の上にあるグラフを左右逆にして考えるということです。）
つまり、その人の偏差値は、
５０　－　１．２８×１０　＝　だいたい３７
です。

以上、ご参考になりましたら。

お礼

すいません、補足のところに書いてしまいました。
上は質問者の私charmsky82が書いたものです。

補足

丁寧な回答ありがとうございました。
とても参考になりました。申し訳ないですが、また疑問点ができたのでもう一度お聞きしてもよろしいでしょうか。

・回答にＷｅｂ上で見つけてくださったと思われます正規分布表ですが、私も「正規分布表」で検索をかけてみたら、たくさんでてきました。しかし、どれも中の数字がちょっとずつ違うみたいなのですが、
正規分布表の数値はどのようにしてだしているのでしょうか。
自分にあった正規分布表を作ってから偏差値を求めるのでしょうか。

・計算方法を参考にして実際に計算してみました。

1～10位 7人
10～20位 14人
20～30位 11人
30～40位 10人
40～50位 13人
50～60位 7人
60～70位 2人
の計64人の学年です。

この場合だと、20～30位の人は先の分布表を使った場合
５０＋０．００×１０で偏差値５０

また、50～60位の人は
５０－１．０８×１０で偏差値３９．５

という計算方法で大丈夫なのでしょうか？

長文すいません、
よろしくお願いします。

回答No.4

arrysthmia

＞ 例えば、７５人全員が「私は一位だった」と書いてきた場合、
＞ そこから何が判りますか？

については、考察してみて戴けたでしょうか？

テストの得点分布が、正規分布であろうが、一様分布であろうが、
他のどんな分布であろうが、順位で見て１～１０位は１０人、
１１～２０位も１０人でなければなりません。そうでなかった分は、
アンケートの回答が、ウソまたは間違いを含んでいる…ということ
になります。成績ではなくて、回答された「順位」の誤差が
正規分布する…と考える問題なのでしょうか？

お礼

アンケートは中学生を対象にしたもので、
かつ質問内容も「いつもだいたいどのくらいの順位をとっていますか」
というようなはっきりしたものにはしなかったので
間違いやウソを多少含んでしまっているのを承知したうえで
あくまで推定として、調査をしています。
もちろん回答されなかった無記入のアンケートもたくさん
ありましたし。
ただ、全員や大多数が同じ順位を選択することはありませんでした。

ありがとうございました！！！

回答No.3

sanori

お礼のお言葉をありがとうございました。

＞＞＞上は質問者の私charmsky82が書いたものです。

ええ。大丈夫です。補足欄には質問者しか投稿できませんので、わかりますよ。　＾＾

＞＞＞しかし、どれも中の数字がちょっとずつ違うみたいなのですが、
＞＞＞正規分布表の数値はどのようにしてだしているのでしょうか。

前回に私が示した正規分布表は、縦線から左に向かって無限遠までの、黒塗り部分の面積を表す表です。

ほかの例を挙げますと、この正規分布表は、
http://www.koka.ac.jp/morigiwa/sjs/standard_normal_distribution.htm
縦線から左に向かって中央までの部分の、黒塗り部分の面積を表す表です。

これらの面積（＝表の中の数字）は、解析的に解くことができないので、
コンピュータを使って計算します。
円周率をコンピュータで計算する、という話は、おそらくお聞きになったことがありますよね？
それと同様です。

＞＞＞
・計算方法を参考にして実際に計算してみました。
1～10位 7人
10～20位 14人
20～30位 11人
30～40位 10人
40～50位 13人
50～60位 7人
60～70位 2人
の計64人の学年です。

あれれ？
合計人数は必要ですが、各階級の人数のデータは、今回のＱ＆Ａの趣旨から言えば不要なのでは。
それから、
１０位の人は、１～１０位のグループと、１０位～２０位の両方に入るわけではないですよね？

ですから、たとえば
1～10位 7人
11～20位 14人
21～30位 11人
31～40位 10人
41～50位 13人
51～60位 7人
61～70位 2人
のようになるのではないでしょうか？

・・・であるとして、

階級値は、各階級のど真ん中にするべきですので、
1～10位　→　５．５位
11～20位　→　１５．５位
21～30位　→　２５．５位
31～40位　→　３５．５位
41～50位　→　４５．５位
51～60位　→　５５．５位
61～70位　→　６５．５位

分位点は、
1～10位　→　５．５／６４　＝　0.0859375　→　１ － 0.9140625
11～20位　→　１５．５／６４　＝　0.2421875　→　１ － 0.7578125　
21～30位　→　２５．５／６４　＝　0.3984375　→　１ － 0.6015625
31～40位　→　３５．５／６４　＝　0.5546875
41～50位　→　４５．５／６４　＝　0.7109375
51～60位　→　５５．５／６４　＝　 0.8671875
61～70位　→　６５．５／６４　＝　1.0234375

正規分布表で数字を見つけます。

1～10位　１ － 0.9140　→　標準偏差の　１．３７倍　→　偏差値６３．７
11～20位　１ － 0.7578　→　標準偏差の　０．７０倍　→　偏差値５７．０
21～30位　１ － 0.6015　→　標準偏差の　０．２６倍　→　偏差値５２．６
31～40位　0.5546　→　標準偏差の　０．１４倍　→　偏差値４８．６
41～50位　0.7109　→　標準偏差の　０．５６倍　→　偏差値４４．４
51～60位　0.8671　→　標準偏差の　１．１１倍　→　偏差値３８．９
61～70位　1.0234　→　１より大きいため、圏外

以上、ご参考になりましたら。

お礼

全部の順位に対する偏差値を書いていただき、本当に手間かけてすいませんでした。
本当にありがとうございました。
あれから統計の基礎を一から勉強しなおして
ようやくわかってきた気がしました！！！
もっと勉強したくなりました。
参考にして他の学年もだしたいと思います。

丁寧なご指導ありがとうございました。

回答No.1

arrysthmia

順位のデータだけからは、偏差値を推定することはできません。
例えば、１０人が受けた試験の成績が、
100, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1 点だった場合と
100, 99, 98, 97, 96, 95, 94, 93, 92, 91 点だった場合とで、
一位の人の偏差値は、それぞれどうなりますか？

また、何らかの方法で偏差値を推定できたとしても、
そのことで
＞ １～１０位が約１０人、
＞ １０～２０位も約１０人、
＞ ２０～３０位も約１０人・・・・
＞ となるはずですが、実際はバラバラな人数でした。
の問題を解決することはできません。
例えば、７５人全員が「私は一位だった」と書いてきた場合、
そこから何が判りますか？

お礼

回答ありがとうございました。

確かにarrysthmiaさんのおっしゃるとおりのような気がしますが・・・
ちなみに順位はひとつのテストでなく５教科総合の順位なので、極端に偏ることはないと思ったので・・・。

知識も考え方も未熟で；・・・申し訳ありませんでした。
ありがとうございました。