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高校生の軌跡の問題
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#1のoshiete_goo先生の記述に関する注意点もあるので、それを参考にやってみましょうね。 質問者のyusuke641さん、まず、 「AB=2より,A(-1.0),B(1,0)とする座標平面をとる. P(x,y)として,与式を表すと..」ですよ。 |AP|=√{(x+1)^2+y^2} |BP|=√{(x-1)^2+y^2} |AB|=2 ですから、線分APと線分ABをはさむ角度をθとして余弦定理を用いると |BP|と他の線分との関係は、以下になる。 |BP|^2=|AP|^2+|AB|^2-2|AP||AB|cosθ ここで、P(x,y)であるので、cosθ=(x+1)/|AP|, また|AB|=2 を代入すると、 |BP|^2=|AP|^2+4-4(x+1) ところが、条件 |AP|^2-|BP|^2=1 であるので、代入して整理すると、 -1=4-4(x+1), (x+1)=5/4, x=5/4-1=1/4 つまり、x=1/4 を通る点P(1/4,y)が軌跡。 参考程度まで
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- oshiete_goo
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#6の補足です. AB=2が与えられているので,答の表現としては比でなく長さを使って 『線分AB上でAC=5/4(ないしはBC=3/4)となる点Cを通りABに垂直な直線』 といった答え方も正解ですね. ただし,幾何学的には絶対的な長さではなく,ABに対する比の方が意味があって, それは AB=2a,AP^2-BP^2=a^2 という一般化を考えてみれば分かるのではないでしょうか.(この場合も『線分ABを5:3に内分する点を通ってABに垂直な直線』です.)
- oshiete_goo
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mmkyさんのご回答が既にありますが, 一番平凡な解答を示します. A(-1,0),B(1,0)とする座標平面をとり, P(x,y)とすると AP^2=(x+1)^2+y^2 BP^2=(x-1)^2+y^2 これを与式 AP^2-BP^2=1 にそのまま代入して {(x+1)^2+y^2}-{(x-1)^2+y^2}=1 左辺を展開,整理すると(中略) 4x=1 ∴x=1/4 このときy座標は特に制限がなく, 全ての値をとりうるので, 点Pは直線x=1/4全体を描く. 答:線分ABを5:3に内分する点を通ってABに垂直な直線を描く.
- oshiete_goo
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線分ABを〇:〇に内分する点を通って,ABに垂直な〇〇 などとなりそうですね.
- BCT
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すいません。#2で回答したものです。 AP^2-BP^2=1では円にはなりませんね。 ごめんなさい。m(_ _)m
- BCT
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AB=2 ということは AB間の距離が2という意味ですか? それならば、2点間の距離を求める公式、円の公式や楕円の公式とにらめっこしてください。
- oshiete_goo
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AB=2より,A(-1.0),B(1,0)とする座標平面をとる. P(x,y)として,与式を表すと... 注意としては答えるときに,式でなく,2定点A,Bとの関係で言葉で答えなくては(厳密には)正しくないことで,例えば,線分ABの垂直二等分線などと答えます.
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