数学の問題です。

質問

数学の問題です。

平面上でA B Cは異なる３定点でPは動点とする。次の等式を満たす点Pの軌跡を求めよ。

(1)　→　　→　
　｜AP+３BP｜＝ｒ(ｒ＞0)
(2)　→　→　→
　｜AP+BP+CP｜＝９

です。

どうやって考えるか？からわからないので教えてください。
わかりずらくてすみません。

回答No.3

naniwacchi · ベストアンサー

こんばんわ。

いずれの条件式も「絶対値（ベクトルの大きさ）」がついていますね。
たとえば、簡単な場合として
|AP→|＝ 2

という条件を満たす点Pはどういう軌跡を描くでしょうか？
ベクトル AP→というのは「点Aから点Pに向かうベクトル」であり、
「その大きさが 2ですよ」ということを表しています。
つまり、点Aから距離が 2となる点の集まりを表しています。
ある点から距離が一定となる点の集まり・・・わかりますよね。＾＾

まず問題を考えるにあたって、位置ベクトルの原点を決めましょう。
点Aを基準にするのが一番わかりやすいと思います。
そして、
|○P→|＝(一定)

の形に変形します。

ここは少しややこしいので具体例をあげておくと、
|(AB→+ AC→)/2- AP→|＝ 2という式になったとします。

(AB→+ AC→)/2は辺BCの中点を表しますが、その点を Mと表すことにすれば
(AB→+ AC→)/2＝ AM→と書き換えることができます。
それを式に戻すと
|AM→- AP→|＝ 2
|MA→+ AP→|＝ 2（ベクトルの方向と絶対値の扱いがポイント）
|MP→|＝ 2

となり、点Mから距離が 2となる点の集まり
すなわち、「点Pは辺BCの中点から○○が 2の○○上にある」ということができます。

式を変形することと図を描いてみて、どのような点を考えているかを見てください。
じっくり考えれば、きっとわかりますよ。＾＾

お礼

(1)のみでしたが、一番丁寧に教えていただき感謝しています。
この説明で(2)もわかりました。
このように長い長文で説明していただき本当にありがとうございます。

回答No.2

post_iso

ベクトルの分解
→　　　→　→
AB　＝　Ｂ－Ａ
(支点はどこでもよい)
を使います。

（１）
|AP + 3BP|
=|(P-A) + 3(P-B)|
=|4P-(A+3B)|=r

⇒|P-(A+3B)/4|=r/4

中心(Ａ＋３Ｂ)/４、半径ｒ/４の円です

（２）も同じようにやれば
中心（Ａ＋Ｂ＋Ｃ）/３、半径３の円になります。

お礼

postさんのおかげで、基本的な定義を確認できました。
おしえていただきありがとうございます。
また回答ありがとうございます。

回答No.1

alice_44

方針は、Ｐを一箇所に集める！

(1)
左辺 = | (↑OP - ↑OA) + 3(↑OP - ↑OB) |
　　 = | 4↑OP - (↑OA + 3↑OB) |
だから、方程式は、
| ↑OP - (↑OA + 3↑OB)/4 | = r/4
と同値。それって、
↑OC = (1/4)↑OA + (3/4)↑OB と置いて、
| ↑CP | = r/4 ってことだけど、
これはどんな図形でしょうか？

(2) も同様。

お礼

回答ありがとうございます。
あえて答えをださずに考え方のみを教えていただきありがとうがざいます。