• 締切済み

エルミート行列の対角化の証明

証明　エルミート行列はユニタリー行列を使って固有値を対角要素とする対角行列にでき、その固有値は実数である。 いろいろ調べたんですが、この証明ができなくて、困っています。 よろしくおねがいします。

みんなの回答

  • kup3kup3
  • ベストアンサー率68% (33/48)
回答No.1

こんにちは。 あなたの質問はたいていの参考書にのっていますが。 どこらあたりがわかリませんか？ 「エルミート行列の固有値はすべて実数となる」 ことは、分かりますか。これはこれだけで分かる ところですので、ここだけまず理解できるようやってみましょう。 参考書ののここまではは分かるが、次のこれが分からないなどの 箇所をまず補足に書いてみましょう。

  1. カテゴリ
  2. 学問・教育
  3. 数学・算数

関連するQ&A

  • 反エルミート行列の性質について

    エルミート行列は、要素ａij とａji が、複素共役の関係になっている行列と 理解しています。 では、反エルミート行列（固有値が　純虚数になる行列）では、 ａij とａji の関係は、どうなるのでしょうか？ （単純に考えたら、実数部の符号が反対で、虚数部は、そのまま 　と思いましたが、自信ありません） それと、 反エルミート行列は、ユニタリー行列によって対角化できますか？

  • 線形代数　行列の対角化とユニタリー行列について

    線形代数　行列の対角化とユニタリー行列について 行列Aをの固有値a1,a2,.....に対して固有ベクトルをv1,v2,.....とするとAを対角化する変換行列Pは P=(v1,v2,...)となりますよね？このとき対角化された行列は PAP^(-1)とP^(-1)APのどちらですか？ 教科書によって違うので混乱しています。 また、Aが対角化可能かどうかは具体的にはどのように判断するんですか？ というのも今までエルミート行列しか対角化したことなかったんです。 エルミート行列を対角化する変換行列はユニタリー行列であるという認識は正しいですか？ ユニタリー行列の場合変換の際に基底の大きは保存されると思います。よって大きさが変わっていいならユニタリーでなくても対角化できそうなのですが。 一般的には対角化とエルミート行列とユニタリー行列の間にはどんな関係があるのでしょうか？ 迷走した質問ですみません。よろしくお願いします。

  • エルミート行列の証明

    エルミート行列Aは、ユニタリー行列Uを用いて、B=U^-1AUの変換を行うと、行列Bもエルミート行列になる。 この証明をしたいのですが、全くどうやっていいのか分かりません。どうゆうやり方で書いていけば良いのでしょうか？

  • エルミート行列とユニタリー行列

    ものすごく基本的なことなのですが 「エルミート行列A は、ユニタリー行列U を用いて、B=U-1AU の変換を行うと、行列B もエルミート行列になる。」 ということを証明したいのですが、どうすれば良いのでしょうか？ いろいろな本を見てエルミート行列とユニタリー行列について勉強しましたが、どうしてもこのことを証明することが出来ません。 どのようにすれば良いのかどなたか教えて下さい。

  • なぜ正規行列で対角化するの？？

    アホな質問です。 対角化するとき、エルミート行列あるいは実対象行列のときはユニタリー行列Uあるいは直行行列を使って対角するような問題ばかりなのですが、なぜ、普通に任意の正則行列Pをつかって対角化しないでしょうか？ ユニタリー行列を探すには、固有ベクトル見つけたあと、グラムシュミットで正規直交基底をつくってやらんきゃならんわけですよね。単に固有ベクトルならべてつくるPより、面倒だと思うのですが？ 教科書にはそういうときはユニタリで対角化できるみたいに書いてあるんで普通の正則行列Pでも対角化自体はできんですか？ その後においてどういう利点があるんでしょうか？ 確か前どっかで聞いたことあったような・・Uが直行しているのでなんかの計算で便利なんでしたっけ？何かをわざわざ計算しなくてもいいから楽？ってどっかで見たか聞いたことあったような・・・。わかりやすく大学初学年にもわかりやすい程度でお願いします・・。m(__)m

  • エルミート行列の固有値

    エルミート行列の固有値は必ず実数になることはどうやって示せますか。

  • エルミート行列以外にも固有値が実数になるか

    http://okwave.jp/qa/q8156118.html に「エルミート行列の固有値は必ず実数になる」ことが証明されていました。 その内容の逆「実数の固有値をもつ行列はすべてエルミートである」は真でしょうか。 すくなくとも「エルミート行列以外にも固有値が実数になる」と言えれば、事例があれば、「エルミート行列の固有値は必ず実数になる」は真ではなく偽となるでしょう。 偽が明確になるとブラケット演算に偏りがちな量子力学に新たな発展の道が生まれると思います。複素数でシュレディンガー波動方程式の解を考えることに意義が生まれます。私はトンネル共鳴現象やエバネッセント波もそうではないかと思うのです。エバネッセント波という光子の現象がありますが、光速度が０で、あるミクロンの領域だけに明るい領域ができたり、物質に吸引や反発力を作用しています。 　

  • 行列の問題です。

    行列の問題です。 (１)エルミート行列の固有値は実数であることを示せ。 (２)ユニタリー演算子を行列で表現したものはユニタリー行列になることを示せ。 (３)２つのユニタリー演算子U１とU2の積U1U2はユニタリー演算子であることを示せ。 ※(３)の１・２はUの添え字です。 回答お願いいたします。

  • 大学の数学「線形代数」；エルミート行列の対角化について

    大学の数学「線形代数」；エルミート行列の対角化について 次のエルミート行列の対角化をしたいのですが、どうしたらいいですか。そのまま固有方程式を解こうとすると失敗しました。また、行列の基本変形で対角化しようとしましたがやはり無理でした。指針だけでも結構ですので、教えて下さると助かります。 （　２　１　０　） （　１　１　i　） （　０　-i　１　） （　）はそれぞれ上から順に第１行、第２行、第３行を表している。iは虚数単位。

  • 行列の対角化について

    (4 -5) (2 -3) という行列Ａがあり、この行列の固有値が２とー１、固有ベクトルが a(5),b(1) 　(2) (1) となります。（ただしa,bは０でない任意実数） この行列Ａを対角化するときに対角化するのに必要な行列をＰであらわすと Ｐ＝(5 1) 　　 (2 1) とできるとあるのですがこのＰを Ｐ＝(1 5) 　　 (1 2) とすることはできないのでしょうか？

注目のQ&A

カテゴリ

専門家に質問してみよう

職業から探して質問する

あなたにピッタリな商品が見つかる！ OKWAVEセレクト

質問する