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エルミート行列の固有値

エルミート行列の固有値は必ず実数になることはどうやって示せますか。

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  • alice_44
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回答No.1

どこの教科書にも載ってるような話だけど、 本で調べなかったの? 行列 A の転置共役を A* と書くことにする。 行列 H がエルミートであるとは、H* = H のこと。 H の固有値 λ に属する固有ベクトルを x と置く。 (x*)Hx = (x*)(Hx) = (x*)λx = λ(x*)x. また、 (x*)Hx = (x*)(H*)x = ((Hx)*)x = ((λx)*)x = (λ*)(x*)x. 固有ベクトル x は零ベクトルではないから、 λ(x*)x = (λ*)(x*)x の両辺を (x*)x で割って、 λ = λ*. これは、λ の共役が λ と等しいこと、 つまり、λ が実数であることを示している。

NRTHDK
質問者

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本の解説は分かりずらかったので質問させていただきました。回答ありがとうございました。

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