エルミート行列の固有値

質問

エルミート行列の固有値は必ず実数になることはどうやって示せますか。

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

どこの教科書にも載ってるような話だけど、
本で調べなかったの？

行列 A の転置共役を A＊ と書くことにする。
行列 H がエルミートであるとは、H＊ = H のこと。

H の固有値 λ に属する固有ベクトルを x と置く。
(x＊)Hx = (x＊)(Hx) = (x＊)λx = λ(x＊)x.
また、
(x＊)Hx = (x＊)(H＊)x = ((Hx)＊)x = ((λx)＊)x = (λ＊)(x＊)x.
固有ベクトル x は零ベクトルではないから、
λ(x＊)x = (λ＊)(x＊)x の両辺を (x＊)x で割って、
λ = λ＊. これは、λ の共役が λ と等しいこと、
つまり、λ が実数であることを示している。

お礼

本の解説は分かりずらかったので質問させていただきました。回答ありがとうございました。