エルミート行列とユニタリー行列

質問

ものすごく基本的なことなのですが
「エルミート行列A は、ユニタリー行列U を用いて、B=U-1AU の変換を行うと、行列B もエルミート行列になる。」
ということを証明したいのですが、どうすれば良いのでしょうか？
いろいろな本を見てエルミート行列とユニタリー行列について勉強しましたが、どうしてもこのことを証明することが出来ません。
どのようにすれば良いのかどなたか教えて下さい。

回答No.5

atomicmolecule · ベストアンサー

できてますね

回答No.4

atomicmolecule

先程複素共役転置はＯＫと書きましたが、すみませんが間違いでした。Jaicaさんの複素共役転置は、行列の積に関しての転置が行なわれていません。二つの行列の積に関しての転置は

(A*B)^†=B^† A^†

です。これを三つの積へと拡張してください。

お礼

(B)^†=(U-1AU)^†
　　　=(U)^†(A)^†(U-1)^†
　　　=U-1(A)^†U
　　　=U-1AU
　　　=B

これで良いのでしょうか？

回答No.3

atomicmolecule

ユニタリー行列の定義を思い出してください。

１）U^†がＵの逆行列ではありませんか？
つまりU^†=U^{-1}

２）エルミート行列の定義はH^†=Hでしたよね。
するとＨ’≡U^†H U　が

(H')^†=H'　となるかどうかを確認するんですよね

３）†が二回つくと元に戻るってのもいいんですよね？ つまり(U^†)^†＝Ｕ

＊）行列の積の複素共役転地はJaicaさんが書いてある通りでよいと思います。１～３を参考に手を動かしてください。

回答No.2

ojisan7

>t(B)=Bですよね？t(U-1AU)=U-1AUになるというのでしょうか？

そういうことです。Kのエルミート共役をK^(†)と表すと、一般的に、(KL)^(†)=L^(†)K^(†)となります。したがって、
B^(†)=(U-1AU)^(†) =・・・・
となります。

お礼

結局、どうすれば良いのですか？

B^(†)=(U-1AU)^(†) =(U-1)^(†)*(A)^(†)*(U)^(†)=

で、その先が分かりません。

回答No.1

ojisan7

両辺のエルミート共役（複素転置）をとれば・・・

お礼

本当にすいません、
具体的に書いてほしいのですが。

t(B)=t(U-1AU)

Bがエルミート行列であれば
t(B)=Bですよね？
t(U-1AU)=U-1AU
になるというのでしょうか？