大学の数学「線形代数」；エルミート行列の対角化について

質問

大学の数学「線形代数」；エルミート行列の対角化について

次のエルミート行列の対角化をしたいのですが、どうしたらいいですか。そのまま固有方程式を解こうとすると失敗しました。また、行列の基本変形で対角化しようとしましたがやはり無理でした。指針だけでも結構ですので、教えて下さると助かります。

（　２　１　０　）
（　１　１　i　）
（　０　-i　１　）

（　）はそれぞれ上から順に第１行、第２行、第３行を表している。iは虚数単位。

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

どんな方法をとるにせよ、最終的に、
対角化した行列の対角成分には、もとの行列の固有値が並ぶのですから、
固有値は、何らかの方法で求めることになります。
だったら、固有方程式を解けば？　…ということです。

質問の行列の固有方程式は、λ^3 - 4λ^2 + 3λ + 1 = 0 になります。
型の如く、二次項を消すために y = λ - 4/3 と置いて、y^3 - (7/3)y + (7/27)。
これを見ると、分母を払って z = 3y と置きたくなりますね。
すなわち、z^3 - 21z + 7 = 0　ただし　λ = (z + 4)/3。

z^3 - 21z + 7 = 0 を解きましょう。
これには、有名な解法が二つあります。(他にもあるかもしれませんが)

カルダノ法：
z = u + v と置くと、公式 (u + v)^3 = (u^3 + v^3) + 3uv(u + v) より、
3(uv - 7)z + (u^3 + v^3 + 7) = 0 と変形できます。これより、
uv = 7,
u^3 + v^3 = -7
であるような u, v を見つければ、u + v が解になっていることが判ります。
二次方程式の解と係数の関係より、u^3, v^3 は x^2 + 7x + 7^3 = 0 の解ですから、
解公式を使って、u^3, v^3 = { -7 ± √(7^2 - 4・7^3) }/2。
以上より、
z = u + 7/u　ただし　u^3 = -(7/2){ 1 ± (3√3)i }。　　…[1]

三角関数法：
z = r cosθ と置くと、三倍書く公式 cos(3θ) = 4(cosθ)^3 - 3cosθ より、
3z(28 - r^2) - { 28 + (r^3)cos(3θ) } = 0 と変形できます。これより、
28 - r^2 = 0,
28 + (r^3)cos(3θ) = 0
すなわち
r = √28,
cos(3θ) = -1/√28
であるような r, θ を見つければ、r cosθ が解になっていることが判ります。
cosα = -1/√28 となるような α は、0 < α < π の範囲に一個だけ在ります。
この α を使って、3θ = ±α + 2nπ　ただし　n は任意の整数。
以上より、
z = (√28)cos(±α/3 + 2nπ/3) = (√28){ cos(α/3)・cos(2nπ/3) - sin(α/3)・sin(2nπ/3) }　　…[2]

cos(α/3), sin(α/3) の値を求めて整理すれば、[1][2] は一致します。

さて、めでたく、λ の三個の値は異なることが判ったので、
対角化のための変換行列は、単に、各 λ の固有ベクトルを列として並べれば ok です。
あとは、固有ベクトルを求めるために、三組の一次方程式を解けばよいだけ！　…ゲンナリですが。

お礼

お礼が遅れてしまい申し訳ございません。何人かの数学科の友達と議論した結果、やはり行列の基本変形で対角化できました。回答があまりお役にたてられませんでしたが参考になりました。ありがとうございました。

回答No.1

alice_44

そのまま固有方程式を解こう。λ^3-4λ^2+3λ+1=0 になる。
所詮は三次方程式だから、カルダノ法などで解けるにしても、
確かにウンザリするような値が出てくる。ウンザリはするが、
その値を対角成分に並べなければならないのだから、
求めなくてはしょうがない。それは避けられない。
重根は出てこないから、固有ベクトルを求めて並べれば
変換行列も作れてオシマイ。正直しんどい計算だけれど、
計算がしんどいだけで、理論的に難しいところは何もない。
根性入れて、がんばってね。

補足

カルダノ法とか知らないのですが……。そんなことをしなくても、解けるらしいのですがどうでしょう。歪エルミート行列を使った解法とかもありましたが、この問題ではうまくいかないです。