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図形の問題です
zabuzaburoの回答
私もmoon00さんの図で考えましたが, 一辺と対角が等しいだけではまだ合同とは言えないので yuyaerさんは悩んでいるのだと思います. そこで何とか合同を示そうとしたのですが, 気が付くと図形が鉛筆でぐちゃぐちゃに(笑). そこで一応その線は諦めて…… いやあ,いい年して死ぬほど考えました. かなり汚ない解き方かもしれませんが,これでどうでしょうか. xが求まればyは簡単なので,xに集中します. 「同一円周上」あたりが分からないかもしれないので, 遠慮無く質問を補足してくださいね. まず,∠ACBの40度を, AC側に30度,BC側に10度に分けるような 直線を引きます. 次に,∠BDCの80度を, BD側に20度,CD側に60度に分けるような 直線を引きます. この新しい2つの直線の交点をPとし,PDとCAの交点をQとします. 実際にはPは三角形OBCの内部に来ると思います. すると∠PDC=60度, ∠PCD=∠PCQ+∠QCD=30度+30度=60度 となります(というより,そうなるように補助線を引いた). したがって三角形DPCは正三角形であり, ∠PCDを二等分している直線CAは, Qにおいて線分PDを垂直に二等分します. いま,PとAを結ぶと,三角形APQと三角形ADQは (AQ共通,PQ=DQ,∠AQP=∠AQD=直角により) 合同ですから,xを求めるには∠PAQを求めれば良いことになります. この辺で,いったん流れを整理してください.まだ半分です. さて,今∠CPD=60度,∠CBD=30度ですから, ∠CPD=2∠CBDとなり, 三点B,C,DはPを中心とする円周上にあります. (中心角=2×円周角であり, もしBが円の内側にあれば角CBDは30度より大きいはずであり, 外側にあれば30度より小さいはずなので). したがってPB=PC=半径から∠PBC(=∠PCB)=10度となり, ∠DBP=∠DBC-∠PBC=30度-10度=20度となります. さらにPB=PD=半径から∠PDB(=∠PBD)=20度です. さらに,PとOを結びます.また,線分BPのPの端を少し延長してその端をRとします. ∠DPRは二等辺三角形PDBの∠Pの外角であり,40度です. 一方,小さい三角形OPQとODQは先ほどと同様に合同ですから, ∠OPQ(=∠ODQ)=20度となり, その結果∠OPR(=∠OPQ+∠QPR=20度+40度)=60度となります. すると,∠BAO=∠OPR(=60度)となるので, 四点A,B,P,Oは同一円周上にあることが言えます. ゆえに∠PAO(=∠PBO)=20度となり, これが求めるxと等しいことは前半に述べました. おーい...寝ないでくださ~い(笑) せっかくなのできちんと理解して欲しいですから, 分からないところは何なりと追加質問してください. しかし角度の問題でこんなに難しいのは初めて見ました.
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