- ベストアンサー
図形の問題です
すいませんが、先ず次の図形を書いてみてください。(めんどいかもしれませんが) 四角形を書きます。左上の角から、反時計回りにそれぞれの角をA,B,C,Dとします。そして、対角線の交点をOとします。次にそれぞれの角の角度を言います。∠ABO=50°、∠OBC=30°、∠OCB=40°、∠OCD=30°、 ∠ODC=80°、∠OAB=60°、次にOを囲む角が、∠AOB=∠COD= 70°、∠AOD=∠BOC=110°,以上の角がわかっていて、求めるのは ∠OAD=x°、∠ODA=y°のxとyです。他にわかっていることはありません。長さも表示されていません。どこかの中学校か高校の入試問題だそうです。 どうしても答えが出ないので、皆さんよろしくお願いします。教えてください。
- yuyaer
- お礼率34% (47/137)
- 数学・算数
- 回答数8
- ありがとう数7
- みんなの回答 (8)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
私もmoon00さんの図で考えましたが, 一辺と対角が等しいだけではまだ合同とは言えないので yuyaerさんは悩んでいるのだと思います. そこで何とか合同を示そうとしたのですが, 気が付くと図形が鉛筆でぐちゃぐちゃに(笑). そこで一応その線は諦めて…… いやあ,いい年して死ぬほど考えました. かなり汚ない解き方かもしれませんが,これでどうでしょうか. xが求まればyは簡単なので,xに集中します. 「同一円周上」あたりが分からないかもしれないので, 遠慮無く質問を補足してくださいね. まず,∠ACBの40度を, AC側に30度,BC側に10度に分けるような 直線を引きます. 次に,∠BDCの80度を, BD側に20度,CD側に60度に分けるような 直線を引きます. この新しい2つの直線の交点をPとし,PDとCAの交点をQとします. 実際にはPは三角形OBCの内部に来ると思います. すると∠PDC=60度, ∠PCD=∠PCQ+∠QCD=30度+30度=60度 となります(というより,そうなるように補助線を引いた). したがって三角形DPCは正三角形であり, ∠PCDを二等分している直線CAは, Qにおいて線分PDを垂直に二等分します. いま,PとAを結ぶと,三角形APQと三角形ADQは (AQ共通,PQ=DQ,∠AQP=∠AQD=直角により) 合同ですから,xを求めるには∠PAQを求めれば良いことになります. この辺で,いったん流れを整理してください.まだ半分です. さて,今∠CPD=60度,∠CBD=30度ですから, ∠CPD=2∠CBDとなり, 三点B,C,DはPを中心とする円周上にあります. (中心角=2×円周角であり, もしBが円の内側にあれば角CBDは30度より大きいはずであり, 外側にあれば30度より小さいはずなので). したがってPB=PC=半径から∠PBC(=∠PCB)=10度となり, ∠DBP=∠DBC-∠PBC=30度-10度=20度となります. さらにPB=PD=半径から∠PDB(=∠PBD)=20度です. さらに,PとOを結びます.また,線分BPのPの端を少し延長してその端をRとします. ∠DPRは二等辺三角形PDBの∠Pの外角であり,40度です. 一方,小さい三角形OPQとODQは先ほどと同様に合同ですから, ∠OPQ(=∠ODQ)=20度となり, その結果∠OPR(=∠OPQ+∠QPR=20度+40度)=60度となります. すると,∠BAO=∠OPR(=60度)となるので, 四点A,B,P,Oは同一円周上にあることが言えます. ゆえに∠PAO(=∠PBO)=20度となり, これが求めるxと等しいことは前半に述べました. おーい...寝ないでくださ~い(笑) せっかくなのできちんと理解して欲しいですから, 分からないところは何なりと追加質問してください. しかし角度の問題でこんなに難しいのは初めて見ました.
その他の回答 (7)
- moon00
- ベストアンサー率44% (315/712)
補足です。 (5)で∠APCを出すには、四角形ABCPの内角の=360、もしくは △APCの内角の和を用いています。 それと(6)の合同条件は私のミスでした。すいません。 解答方法は考えたのですが、このスレッドもあまりにも長くなっているし、 書くとかなり長くなるので、すいませんが止めておきます。
- ryumu
- ベストアンサー率44% (65/145)
いやはや、最初の私のでは完全には三角形DOA(三角形ABOは間違いです)と三角形QOCは相似であることはいえませんでした。なんかおかしな気がしてみてみると回答いっぱい・・・ もういいのかな??^^; ・・・というのは回答者として無責任ですので ではあらためて(P、Qは私の定義で)・・・ 重要なのは、三角形DQCが二等辺三角形(DQ=DC;∠QDC=80、∠DQC=∠DCQ=50)であることです。 ここでAQとDCは平行でした(したがって、∠QDC=∠DQA=80、∠QAC=∠ACD=30です)。これより、三角形AQOと三角形DCOは合同であることになります(AQ=DC)。したがって、三角形DOAと三角形QOCは合同となり、答えが得られますね。
- keroro
- ベストアンサー率11% (4/36)
図形の作図 1、点AからBCに平行な線をひく。 2、辺CDを延長する。この時、1で書いた線に交わる点をPとする。 3、辺BDを延長する。この時、1で書いた線に交わる点をQとする。 4、辺BAを延長する。この時、2で書いた線に交わる点をSとする。 5、辺ADを延長する。この時、延長した点をD'とする。 ここから、解答。 ∠APR=∠BCD=40+30=70なので、∠APD=180-70=110 四角形AODPの内角の和を考えると3∠OAP=360-(110+110+100)=40 三角形ABQの内角の和を考えると∠AQB=180-(50+100)=30 ここで、三角形ACDと三角形AQDについて考える。 この2枚の三角形の合わさった形(紙飛行機型)を考える。 この図形の性質(うる覚えですが)から∠CAD=∠QAD=20=X よって、三角形AODから、Y=50 もし違っていたらごめんなさい。 ちなみに、三角形の相似の条件は 1、3組の辺の比が等しい 2、2組の辺の比が等しく、その間の角が等しい 3、2組の角がそれぞれ等しい の3つです。
- burgess_shale
- ベストアンサー率29% (9/31)
moon00さんの図形を使わせてもらうと、直線CDPの延長線上にQを取ると∠APQは同位角の関係から∠APQ=∠BCD=40+30=70ですから、∠APC=180-70=110。 同様に同位角を考えると∠PAB=100ですから、∠OAP=100-60=40となります。後は三角形が合同であることを使って…
- soba01
- ベストアンサー率0% (0/3)
正確に図形を書いて測ってみると、Xは20度,Yは50度になりました。 ですが、それを堂やって解くんだといわれると、どう考えても中学生の知識だけじゃ出来ません。(本当は出来るのかもしれませんが) お役に立てなくてすみません。
お礼
確かに僕も図形を書いてやって、測ってみるとそういう答えになりました。 問題は、出し方なんですよね。挑戦してくださってありがとうございました。
- moon00
- ベストアンサー率44% (315/712)
答えはx=20、y=50 です。 作図と計算で求めるには (1)設問に従って四角形を描く (2)辺BCに平行な線を点Aから引く。 (3)辺CDを延長して(2)の線と交わらせる。交点をPとする (4)APとBCは平行なのでそこから∠PABが確定し、 ∠PAOも確定。 (5)同様に∠APCも確定 (6)ここで△ADPと△ADOが合同(斜辺とその対角が同じ) (7)(6)によりxとyが求められる。 文字だけでは説明は難しいですね。 分かっていただけるかな。 但し、この解答法が一番正しいという自信はありません。 おそらく他にもやり方があると思います。
補足
実際におっしゃられる様にやってみましたが、(5)からつまずいています。 ∠APCってどうやって出すんでしょうか?また(6)も、どうして合同ってわかるんでしょうか? お手数ですが、説明していただければ幸いです。
- ryumu
- ベストアンサー率44% (65/145)
∠BACを2等分する線を辺BCへと書き、その交点をPとする。線APとDCは平行ですね。線APと交線BDの交点をQとします。さらにQからCへと線を引くと、∠OCQ=20°,∠OQC=50°となりますね。 一方、三角形AQOと三角形DCOは相似です。従って、三角形ABOと三角形QOCは相似です。これより、x=20°、y=50°となります。 ・・・あってるかな?
補足
∠OCQ=20°、∠OQC=50°ってどうやってだすんですか? また、どうしても△ABOと△QOCは相似にはならないと思うのですが? 説明していただけると幸いです。
関連するQ&A
- 自作、次の条件のとき四角形は平行四辺形となりますか
平行四辺形ABCDがあり、対角線の交点をOとします。このとき、次の性質があります。 [1]AB//CD [2]AD//BC [3]AB=CD [4]AD=BC [5]∠A=∠C [6]∠B=∠D [7]AO=CO [8]BO=DO [9]∠OAB=∠OCD [10]∠OAD=∠OCB [11]∠OBA=∠ODC [12]∠OBC=∠ODA ひまつぶしに、[1]から[12]まで条件からの2つを組み合わせたものは、四角形ABCDが平行四辺形であると同値かどうか考えてみました。 [1][4]、[1][9]、[1][11]、[2][3]、[2][10]、[2][12]、[3][5]、[3][6]、[3][7]、[3][8]、[3][10]、[3][12]、[4][5]、[4][6]、[4][7]、[4][8]、[4][9]、[4][11]、[5][7]、[6][8]、[10][12] は平行四辺形と同値でなく、それ以外は同値という結論になりました。しかし、自信がないので、以下の3つだけでいいので、確かめていただけないでしょうか。 言葉で説明するのは難しいと思いますが、よければ根拠のあるご回答をいただけると幸いです。 四角形ABCDで、[3]AB=CD、[5]∠A=∠Cのとき、四角形は平行四辺形とは限らない。 四角形ABCD(対角線の交点をO)で、[5]∠A=∠C、[7]AO=COのとき、四角形は平行四辺形とは限らない。 四角形ABCD(対角線の交点をO)で、[5]∠A=∠C、[8]BO=DOのとき、四角形は平行四辺形となる。
- 締切済み
- 数学・算数
- 図形の角度を求める問題
四角形ABCDがあって、まず対角線ACを引きます。 次に線分AC上に点Oをとり、線分BO、DOを引きます。 ∠BAO=∠DAO=19° ∠AOD=82° ∠BCO=22° ∠DCO=33° このときの∠AOBを求める問題です。 上の文は説明のものなので、実際の問題文ではありません。 問題も、図があって、角を求めよというだけです。 数学の問題ではありますが、平面幾何の問題だと思います。 中学生の内容で出来るそうなので三角関数は使えません。 解き方と答えを教えて下さい!
- 締切済み
- 数学・算数
- 図形への応用1 214 (2)だけを解いてください
α,βは、等式3α^2-6αβ+4β^2=0をみたす0でない複素数とする。以下の問に答えよ。 (1)複素数α/βを極形式で表せ。 (2)嘘数平面上で複素数0,α,βを表す点をそれぞれO,A,Bとするとき、角AOBおよび角OABを求めよ。 (1)の解 α/β = (2√3/3){cos(11π/6) + i sin(11π/6)} (2)だけを解いてください。お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ベクトル
中心O、半径1の円周上に相異なる4つの点A,B,C,Dを ∠AOB=∠BOC=∠COD=θ (0<θ<π/2)となるようにとる。 V(OB),V(OC)をそれぞれV(b),V(c)とするとき (1)V(OD)をV(b),V(c),θを用いて表せ。 (2)線分ACと線分BDの交点をPとするとき、V(OP)をV(b),V(c),θを用いて表せ。 という問題なのですが、 (1)私では V(OD)=-V(OB)+tV(OC)という風にしか表せそうにないのですが、 回答の形はθも使うのでどう表せばよいか全く分かりません。 ∠AOB=∠BOC=∠COD=θ なので、 弧AB=弧BC=弧CD,弦AB=弧BC=弧CD 円の半径から、OA=OB=OC=OD であり、△OAB、OBC,OCDは二等辺三角形という事しか読み取れませんでした。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数Bの問題の解き方と答えを教えてください。
3点O(0,0,0)、A(-1,-2,1)、B(2,2,0)を頂点とするΔOABについて、次の問いに答えよ。 (1)∠AOBの大きさを求めよ。 (2)ΔOABの面積Sを求めよ。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 図形の問題です。教えてください!
半径10、中心角∠AOB=2π/3の扇形OABがある。 弧AB上(ただし、両端を除く)に点Pをとり、点Pを通り半径OAに平行な直線 と半直線OBとの交点をQとして∠POQ=θとする。 ∠OPQ=2π/3-θより、三角形OPQに正弦定理を適用することで OQ=□sinθ/√□+□cosθと表せる。 次に三角形OPQの面積をSとするとS=□(sinθcosθ+sin^2θ/√□)となり、 (□/√□)×(√□sin2θ-cos2θ+□)と表せる。 なのでSはθ=□π/□のとき、最大値□√□をとる。 解き方が分かりません。 詳しく教えてもらえたらうれしいです。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
いやーほんとに長いですね。でもちゃんと答えが出ました。文句無しです。本当にお手数かけました。他の回答してくださった方のは、途中でいきずまってしまうんですがどうでしょうか。もしよければ、また御回答ください。ほんと---------------------にありがとうございました。