r^2(θ)=cos2θ (-π/4≦θ≦π/4、r≧0)についての問題

質問

検索をさせていただいたのですが、なかなか
似たような問題が出てこなかったので質問させていただきます。
大学院の問題なのですが、いまいちわかりません…。

r^2(θ)=cos2θ　(-π/4≦θ≦π/4、r≧0)

(1)dr/dθを求めよ。

自分なりに出した答えが
r(θ) = √cos2θ　(∵ r≧0)
dr/dθ = 1/2 x 2 x (-sin2θ)^(-1/2)
　　　 = -1/√sin2θ
　　　 = - √sin2θ/sin2θ　　←有利化

(2)dr/dθ = 0となるθの値と、それに対応するr(θ)を求めよ。

dr/dθ = 0となるのはθ = 0のときで r(0) = √cos0 = 1

(3)直行座標(x,y)で表したときに、dy/dx = 0となるθの値と、それに対応するr(θ)を求めよ。

x = rcosθ、y = rsinθ　とおき、
dx/dθ = -rsinθ
dy/dθ = rcosθ

よって
dy/dx = -cosθ/sinθ = -1/tanθ

と、ここでつまってしまいました。。。
（１）、（２）も自信がありません…。

どなたかわかる人がいましたら、
ご教授いただけると非情に助かります。

よろしく御願いします。

回答No.2

info22 · ベストアンサー

> r(θ) = √cos2θ　(∵ r≧0)
> dr/dθ = 1/2 x 2 x (-sin2θ)^(-1/2)
ここで間違い。
合成関数の微分を確実にマスターすること。
　これは高校レベルです。

dr/dθ =[{cos(2θ)}^(1/2)]'
=(1/2){cos(2θ)}^(-1/2)}{cos(2θ)}'
=(1/2){cos(2θ)}^(-1/2)}{-sin(2θ)}(2θ)'
=-{sin(2θ)}/{cos(2θ)}^(1/2)

> ←有利化
院受験者が誤字では困りますね。
「有理化」と正しく。
有理化はしてもしなくてもどちらでもOKと思います。
高校や大学受験の中高生なら別ですが…。

(2) (1)が間違っていますので　たとえ結果が合っていても
(2)は零点になりますね。

>dr/dθ = 1/2 x 2 x (-sin2θ)^(-1/2)
>　　　 = -1/√sin2θ
↑の(1)の間違った計算式からは
dr/dθ =0 となるθは存在しません。
ここで計算間違いに気が付かないといけませんね。

sin(2θ)=0→θ=0→ r(0)=√1=1

> (3)直行座標(x,y)
また誤字です。
「直交座標」のミス。

r^2=cos(2θ)=1-2(sinθ)^2
r^2=1-2(y/r)^2
x^2 +y^2=1-{2y^2/(x^2+y^2)}
(x^2+y^2)^2=x^2+y^2-2y^2
(x^2+y^2)^2=x^2-y^2…(A)
xで微分
2(x^2+y^2)(2x+2yy')=2x-2yy'
y'=-(x/y){x^2+y^2-(1/2)}/{x^2+y^2+(1/2)}
y'=0の時 x^2+y^2=(1/2)…(B) ←なぜx=0が排除されるか考えて下さい。
(A)に代入
x^2-y^2=1/4
x=±√6/4,y=±√2/4…(C)
r≧0,-π/4≦θ≦π/4から
r=√(x^2+y^2)=√2/2
cosθ=x/r=√3/2
∴θ=±π/6
r^2=cos(2θ)より
θ=±π/6→r(±π/6)=(√2)/2

お礼

わざわざ細かく書いていただき、ありがとうございます！
今から計算して答え合わせします。

回答No.1

sanori

こんにちは。

＞＞＞
r^2(θ)=cos2θ　(-π/4≦θ≦π/4、r≧0)
(1)dr/dθを求めよ。
自分なりに出した答えが
r(θ) = √cos2θ　(∵ r≧0)
dr/dθ = 1/2 x 2 x (-sin2θ)^(-1/2)
　　　 = -1/√sin2θ
　　　 = - √sin2θ/sin2θ　　←有利化

最初の式　r^2=cos2θ　の両辺を、いきなりθで微分すればよく、
２ｒ・ｄｒ／ｄθ　＝　－２sin（２θ）
ｄｒ／ｄθ　＝　－sin（２θ）／ｒ
　＝　－sin（２θ）／√（cos（２θ））
　＝　－√（１－cos^2（２θ））／√（cos（２θ））

cos（２θ）＝　ｔ　と置いて

　＝　－√（（１－ｔ^2）／ｔ）

＞＞＞
(2)dr/dθ = 0となるθの値と、それに対応するr(θ)を求めよ。
dr/dθ = 0となるのはθ = 0のときで r(0) = √cos0 = 1

－√（（１－ｔ^2）／ｔ）　＝　０
ｔ^2　＝　１
ｔ　＝　±１　＝　cos（２θ）
θ　＝　ｎπ
-π/4≦θ≦π/4　なので、
θ　＝　０
r^2　=　cos2θ　＝　１

＞＞＞
(3)直行座標(x,y)で表したときに、dy/dx = 0となるθの値と、それに対応するr(θ)を求めよ。
x = rcosθ、y = rsinθ　とおき、
dx/dθ = -rsinθ
dy/dθ = rcosθ
よって
dy/dx = -cosθ/sinθ = -1/tanθ
と、ここでつまってしまいました。。。

ｒは定数ではなくθの関数です。
したがって、「積の微分」になります。
ｄｘ／ｄθ　＝　ｄｒ／ｄθ・cosθ　－　ｒsinθ
ｄｙ／ｄθ　＝　ｄｒ／ｄθ・sinθ　＋　ｒcosθ

ここで、上記で求めた　ｄｒ／ｄθ　が活躍することになると思います。

では、続き、頑張ってください。

なお、私、計算間違い、書き間違いを時々やらかすので、上記は検算してくださいね。

ちなみに、本線と関係ないですが、
- √sin2θ/sin2θ　　←有利化
という有理化は、かえって複雑になるので不要です。・・・というよりも、やるべきではありません。

お礼

迅速に答えていただき、ありがとうございます！
今ちょっと時間がないので、
また計算をして確かめたいと思います。
本当に助かります！