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偏微分の問題です。

x=rsinΘcosφ,y=rsinΘsinφ,z=rcosΘのとき 1+(∂z/∂x)^2+(∂z/∂y)^2={(∂r/∂Θ)^2+(∂r/∂φ)^2/sin^2Θ+r^2}/{(∂r/∂Θ)sinΘ+rcosΘ}^2 これを示す問題なんですけど、r,Θ,φのなにか関係式があり、それを利用するのでしょうか？おねがいします。

みんなの回答

回答No.1

zをr,Θ,φの関数z(r,Θ,φ)とすると ∂z/∂x = (∂z/∂r)(∂r/∂x) + (∂z/∂Θ)(∂Θ/∂x) + (∂z/∂φ)(∂φ/∂x) r,Θ,φとx,y,zの間にはx=rsinΘcosφ,y=rsinΘsinφ,z=rcosΘから r = √[x^2 + y^2 + z^2] tanΘ = √[x^2+y^2]/z tanφ = y/x という関係であることがわかるので ∂(tanφ)/∂x = (1/cosφ)^2 (∂φ/∂x) = -y/x^2 などの計算により (∂r/∂x),(∂Θ/∂x),(∂φ/∂x)等を求められます。 この結果を使えば∂z/∂x,∂z/∂yがえられるので、それを1+(∂z/∂x)^2+(∂z/∂y)^2に代入して長い計算をすれば、答えにたどり着くはずです。

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