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無限等比級数

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お礼率 28% (106/373)

1+(1/2)+(1/4)+(1/8)+(1/16)+・・・・・
という計算は、公式で「1/(1-(1/2))=2」となりますが、なぜ正の数を無限に足していくのに答えは無限にならないんですか?
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回答 (全6件)

  • 回答No.2

確かに無限に足されますが、 足される数が無限に小さくなるからです。 ですから合計は無限大ではなく、ある数に無限に近づいていくことになります。 アキレス君の 10m 先に亀さんがいます。 アキレス君は亀さんの2倍の距離を進むことができます。 アキレス君が 10m 進んでも亀さんはその間に 5m 進みます。 アキレス君が 5m 進んでも 亀さんはその間に 2.5m 進みます。 アキレス君が ...続きを読む
確かに無限に足されますが、
足される数が無限に小さくなるからです。
ですから合計は無限大ではなく、ある数に無限に近づいていくことになります。

アキレス君の 10m 先に亀さんがいます。
アキレス君は亀さんの2倍の距離を進むことができます。
アキレス君が 10m 進んでも亀さんはその間に 5m 進みます。
アキレス君が 5m 進んでも 亀さんはその間に 2.5m 進みます。
アキレス君が 2.5m 進んでも 亀さんはその間に 1.25m 進みます。
本当は20m先で追いつくはずなのに
こんな調子では永久にアキレス君は亀さんに追いつけません。
アキレス君が亀を追い抜けないのは、アキレス君が進む距離が毎回
無限に小さくなって、20m に達しないからですよね?

  • 回答No.1
レベル10

ベストアンサー率 18% (24/128)

分母が2倍2倍していってますので、数字的にはどんどん小さくなっていっているわけです。つまり、0.5+0.25+0.125+・・・・ 例えば、ひとつのケーキを半分にして、それをまた半分にして、それをまた半分にして…その一つ一つのケーキのきれっぱしを全部足してもケーキの数は1です。 無限大にまで半分で割って行ってもケーキの数は無限にはなりませんよね? ケーキのきれっぱしの数は無限になるかも知れま ...続きを読む
分母が2倍2倍していってますので、数字的にはどんどん小さくなっていっているわけです。つまり、0.5+0.25+0.125+・・・・

例えば、ひとつのケーキを半分にして、それをまた半分にして、それをまた半分にして…その一つ一つのケーキのきれっぱしを全部足してもケーキの数は1です。
無限大にまで半分で割って行ってもケーキの数は無限にはなりませんよね?

ケーキのきれっぱしの数は無限になるかも知れませんえが、もとのケーキは1個です。
こんな説明で分かりますかね?
  • 回答No.3
レベル12

ベストアンサー率 37% (260/696)

ヘラクレス(だったと思います)は亀に勝てない!! 「先を歩いて行く(1mでも何メートルでも良い)亀をマラソンが得意のヘラクレスという人が走って追いかけても亀を追い抜けない。」という命題があり、相当の間この命題が間違いだと言う事を数学的に証明できないと言うことがありました。 つまり、「ヘラクレスが先を行く亀の位置まで行った時には亀はその位置より少し先に行っており、ヘラクレスがその少し先の亀の位置 ...続きを読む
ヘラクレス(だったと思います)は亀に勝てない!!

「先を歩いて行く(1mでも何メートルでも良い)亀をマラソンが得意のヘラクレスという人が走って追いかけても亀を追い抜けない。」という命題があり、相当の間この命題が間違いだと言う事を数学的に証明できないと言うことがありました。

つまり、「ヘラクレスが先を行く亀の位置まで行った時には亀はその位置より少し先に行っており、ヘラクレスがその少し先の亀の位置まで行った時は亀は更にその先に行っている。この繰り返しでヘラクレスはいつまでたっても亀を追い越すことができない。」という命題です。

でも、hiro98さんは(たぶんほとんどの人間は)たやすく亀を追い越すことができますよね。 また、想像でも簡単に亀を追い越すことができますよね。
hiro98さんが亀を追い越すことができたならばご質問の答えが見出せる事でしょう。

前置きはこれくらいにして、Celenaさんが良い例をあげて説明されておられる様に、ある条件のもとでは無限に足し算をくり返してもある値を超えられません。
足す値が毎回少なくなっている事に注意しましょう。 同じ数字を何度も足すと合計はどんどん大きくなりますが、足す値がどんどん少なくなればある値(極限値)に収束します。
  • 回答No.4
レベル6

ベストアンサー率 100% (1/1)

この場合は(1/2)+(1/4)+(1/8)+(1/16)+・・・だけを考えると(1/2)+(1/4)+(1/8)+(1/16)+・・・+(1/∞)と考えることになり(1/∞)=0なので0.5+0.25+0.125+・・・+0となります。0.5+0.25+0.125+・・・+0は足す回数を増やすことにより1に近づくことがわかり終わりはないのですが無限までいくと0となってしまうので、1以上になることは絶対に ...続きを読む
この場合は(1/2)+(1/4)+(1/8)+(1/16)+・・・だけを考えると(1/2)+(1/4)+(1/8)+(1/16)+・・・+(1/∞)と考えることになり(1/∞)=0なので0.5+0.25+0.125+・・・+0となります。0.5+0.25+0.125+・・・+0は足す回数を増やすことにより1に近づくことがわかり終わりはないのですが無限までいくと0となってしまうので、1以上になることは絶対にありえないのです。よって題意の回答は1+(1/2)+(1/4)+(1/8)+・・・=2となります。
  • 回答No.5

他の答えの繰り返しにしかなりませんが、要するに「2」という数字を半分、半分と分割することは、いくらでも無限にできます。そうしてできた数字の切れ端が質問にある等比級数の各項ですから、それを寄せ集めても「2」を超えることはできないのです。紙に四角を書いてそれを線で半分に仕切り、その一方をさらに半分に仕切り、ということを繰り返していくと、感覚的に理解できますよ、きっと。
他の答えの繰り返しにしかなりませんが、要するに「2」という数字を半分、半分と分割することは、いくらでも無限にできます。そうしてできた数字の切れ端が質問にある等比級数の各項ですから、それを寄せ集めても「2」を超えることはできないのです。紙に四角を書いてそれを線で半分に仕切り、その一方をさらに半分に仕切り、ということを繰り返していくと、感覚的に理解できますよ、きっと。
  • 回答No.6
レベル12

ベストアンサー率 37% (260/696)

pen2sanです、 先ほどの例、ヘラクレスではなくてアキレスだったかも知れません。 彼は足が速く足に自信があった人だと言う記憶があるのですが、、、。 ...続きを読む
pen2sanです、

先ほどの例、ヘラクレスではなくてアキレスだったかも知れません。
彼は足が速く足に自信があった人だと言う記憶があるのですが、、、。
補足コメント
hiro98

お礼率 28% (106/373)

皆さん、回答ありがとうございました。
やっと理解できました。
投稿日時 - 0000-00-00 00:00:00
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