無限等比級数の問題

質問

数検の無限等比級数の問題です。

１＋１/２＋１/２^2＋・・・・・・・・１/２^n-1＋・・・・・
について次の問に答えなさい

１．上の無限等比級数の和を求めなさい。

２．上の無限等比級数の第何項までの部分和を求めれば、１で求めた和との差がはじめて１/１０^4より小さくなりますか。
ただしlog(10)２＝0.3010とします。

この問題なんですが、１の答えは「２」だとすぐに分かりましたが、
２の答えの求め方が分かりません。
答えは「第１５項」と書いてありますが、解説が書いていなくて・・・・・・。

どのようにして解けばよいか教えていただけないでしょうか？
よろしくお願いします。

回答No.1

R_Earl · ベストアンサー

等比数列は(1/2)^(n-1)です。
この等比数列の第n項までの和は、等比数列の和の公式を使うと

2 - (1/2)^(n-1)

となると思います。

1で求めた和の2との差は
2 - { 2 - (1/2)^(n-1) } = (1/2)^(n-1)
よってこの差が1/10^4より小さければ良いわけですから、
(1/2)^(n-1) ≦ 1/10^4
この式の両辺の対数をとれば(底は10でとります)、

log(10){ (1/2)^(n-1) } ≦ log(10){ 1/10^4 }

となるので、これをnについて解けば良いと思います。

お礼

早速のご回答ありがとうございます！
なるほど、そうやって解くのですか。
そういえば、このような解き方があったのを思い出しました(^O^)
ありがとうございました。