無限等比級数の和→理屈で納得したいです

質問

等比数列を、無限に足していく」　という単元（無限等比級数の和）を勉強しています。
　公式があり、それに代入すれば答えは出ることはわかったのですが、

　「無限まで足す」　という問題に、答えを出せる・・・ことを　どうしても納得できません。

　無限まで、というからには、終わりがない・・・　よって、答えだって出るはずもないと思うのです。

　LIM　についても、これと同様の違和感を感じてしまうのですが・・・。
　これを、どうにかして　「スッキリと納得できる」ような説明・・・または方法は、ないものでしょうか？

回答No.2

akinomyoga · ベストアンサー

これは、lim (極限) の数学的な定義を勉強し正しく理解すればすっきりと分かります(無限級数も lim を使って定義されるので: : Σ[n=1～∞] f_n = lim[N→∞]Σ[n=1～N] f_n)。

しかし、それでは答えにならないので、ここでは言葉で説明します。

★1★lim (極限値) は「近付く先の値」であって「到達する値」の事ではない

先ず、おっしゃる通り "無限まで足す" だとか "無限個足す" だとか "全部足す" だとかいう事は *不可能* です。そもそも「無限」というのは「限(きり)が無い」つまり「終わりが来ない」という事なので、無限 "まで" という終わりを指定するような表現の仕方は意味不明ですし、"無限個" などという整数も存在しません。

では、「無限級数の値」だとか「lim の値(極限値)」は一体何なのか、というと *「近付いていく先の値」に過ぎない* と御理解下さい。例えば、

lim[x→∞] 1/x = 0.

という式は、"xに∞を代入すると1/x=0になる" だとか "xを増やしていくと 1/x = 0 に到達する" とかいう意味では *ありません*。そもそも、x にどんな実数を代入しても 1/x = 0 には絶対なりません。上のlimの式は、正しくは「x を増やしていく事によって 1/x をいくらでも 0 に近づけられる」という意味です。

★2★「無限まで足す」ではなく「足していくと何に近付いていくか」

>「無限まで足す」　という問題に、答えを出せる・・・ことを　どうしても納得できません。

従って、「無限級数の値を求める」というのは "無限まで足す" という問題ではなく、「どんどん足していくという操作のもとで、和の値がどの様な値に近付いていくのかを求める」という問題なのです。(序でにつけ加えるならば、「和が近付く先の値」というのは計算で求められない場合がほとんどです。そもそも、和が何か一つの値に近付いていくとも限りません。学校などで出題される物は「近付く先の値が計算で分かってしまう」数少ない無限級数の例の一部なのです。)

★3★他の例「1 = 0.9999……に納得できない」

「1 = 0.9999…… に納得できない」という話がよくありますが、これも全く同じ話です。

これの仕掛は「……」という記号にあります。「……」は無限(循環)小数を表す為にしばしば用いられますが、無限循環小数自体 lim で定義されます。つまり、「……」の中に lim が隠れているのです。従って、「0.9999……」という記号は "0.9999…999 と 9 を増やしていくと何れ到達する値" では *決してなく*、「0.9999…9999 と 9 を増やしていった時にどんどん近付いていく先の値(極限値)」という意味です。その様に理解すれば「1 = 0.9999……」は疑問の余地なく当たり前の事ですね。

「1 = 0.9999……」は "0.9999…999 の 9 を増やしていけば 1 になる" 等という馬鹿な事を主張している訳じゃないのです。9 を有限個並べている限りは、絶対 1 になどなりません。じゃあ、9 を無限個並べれば 1 になるのかといえば "無限個" 等という整数はありません。"9 を「無限個」並べれば 1 になるのは数学的事実だ" 等とさも数学を知っているかの様に意味不明な事を語る人が多い事は悲しい事です。

★4★「無限個」等の言葉を使う時

とはいいつつ「無限個」などという言葉を絶対に使ってはいけないという訳ではありません。「無限個」という言葉を使う場合には、例えば 「"無限個足す" とは "どんどん足していった時の極限値を求める" という操作を便宜上表す物とする」などとちゃんとその意味を数学的に定義して使えば良いのです。

実際に、「どんどん増えていくという操作(数列)」を「無限」という数の一種(超実数)として定義して扱う数学の定式化方法もあります(私は詳しくないですが)。ただし、その「無限」は、我々が持つ素朴な感覚の「無限」とは異なり、数学的に正しい規則で取り扱う必要があります。

やってはいけないのは以下の事です:
・ 「無限個」という素朴な感覚(?)で数学的議論をしてしまう事
・何かをはっきりと説明する事ができない時に、何を意味するかはっきりと定義していない「無限個」という言葉で説明を誤魔化す事

お礼

長く悩んだことが、ものすごくわかりやすく、スッキリしました。
ご回答、どうもありがとうございました！

回答No.3

中村 拓男（@tknakamuri）

>「無限まで足す」　という問題に、
>答えを出せる・・・ことを　どうしても納得できません。

高校ではこのあたりは詳しくおしえず
適当にお茶を濁すことになってます。

「解析学」では「無限にたす」というような表現は
排除されて、厳密な定義に置き換わります。

お礼

お茶を濁すのですね…。
高校生ですから、説明にも限界がある・・・というのが、一般的なのでしょうね。
大学に進学します(^^)

ご回答、どうもありがとうございました！

回答No.1

noname#198254

>>無限まで、というからには、終わりがない・・・

いやいや、最後は和は収束するんですから。
全部（無限個）足したらその和に近づくということでしょ。

逆に言えば、無限個足さないと　その和には近づきません。
有限個ならその和には及ばないのです。

お礼

「近づく」ということだったのですね。
ご回答、どうもありがとうございました！