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制御工学における微分要素のインパルス応答について
foobarの回答
（１) (手順は微分定理の導出と同じなんですが）L[δ'(t)]を直接計算してもよいかと。部分積分を使うと、 ∫δ'exp(-st)dt =δexp(-st)+∫sδexp(-st)dt でラプラス変換の積分区間を-εから∞にとり、その後ε→0の極限をとる。 上式右辺第一項は、t=-ε、∞どちらのときも0、第二項はδ関数の性質より、sなので L[δ'(t)]=s になります。（ε→0の極限をとっても同じ） で、両辺逆ラプラス変換すると、 δ'=L^(-1)[s] (2) g'=1/Δt*(u(t)-u(t-Δt))は g'=0 (t<0) =1/Δt (0<t<Δt) =0 (t>Δt) をステップ関数（あるいはユニット関数)u(t) u(t)=0 (t<0) =1(t>=1) を使ってあらわしただけです。 （u(t)-u(t-Δt) は幅Δt、高さ1の矩形波になります。） これを微分すると、u'(t)が出てきて、これはδ関数になるので、 結果 g''=(1/Δt)(δ(t)-δ(t-Δt)) になって、これのΔt->0 の極限がδ'(t)になります。
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