制御工学における微分要素のインパルス応答について

質問

• 制御工学で過渡応答を勉強しております。微分要素の過渡応答において、インパルス応答が導出できません。
• 微分要素の伝達関数を比例係数KとしてG(s)＝Ksとすると、インパルス応答はどのようになるのか、その過程が分かりません。
• また、逆ラプラス変換L^-1[s]の結果がδ関数の一回微分で表わされる理由も分かりません。グラフに描くとどのような形になるのかも知りたいです。

回答No.5

foobar

（私の回答では、厳密さにはかなり目をつぶってますので、その点はご了承を。）

0<t<Tの矩形波と-T/2<t<T/2の矩形波
幅半分(T/2)だけ位置がずれていますが、t->0の極限をとるので、実用上は同じです。
-T/2<t<T/2の矩形波を使わなかったのは、
・通常のラプラス変換はt>0の範囲を扱うので、t<0で値を持つ関数は取り扱いが面倒
・-T/2<t<T/2の関数を使うと、明らかにδ(-0)=∞になるので、ラプラス変換の微分定理を使いにくい。（もっとも、δ関数のようなものに微分定理を適用していいのか、って問題がそもそもあるんですが、そこは冒頭に書いたように目をつぶるとして、、）
という難点があるので。

g'=0 (t<0),1/Δt (0<t<Δt),0 (t>Δt)の微分
g'=1/Δt*(u(t)-u(t-Δt))ですから、
これの微分は、δ関数の導入同様、u(t)の立ち上がり部分に傾きを想定して計算し、その後、極限をとる、という操作で処理可能です。
（結果、u(t)の微分(=δ関数）+極限でδ'を表現できます。)

お礼

ご回答頂きありがとうございます。
確かに厳密に考察すると超関数の理論を持ってこないと
厳しいかもしれません。
小生この分野には全くの無知であり、小生にも分かりやすく
ご回答頂いており助かります。

さて、ご回答頂いている中で、質問を今一度整理させていただきました
（質問内容が混乱しないよう質問に番号を振らせていただきました）。
以下の質問毎にご回答いただければ幸いです。

(1)L^-1[s]＝δ^(1)(t)をどのように導いたらよいかがいつのまにか、
　なくなってしまいました。
　微分のラプラス変換ではδ(0)＝0が証明できないため導出できませんでしたが、
　他の方法で導出できないか、ご存知であればご教示いただきたくお願いいたします。

(2)＃４(2)の質問に『g'=0 (t<0),1/Δt (0<t<Δt),0 (t>Δt)の微分』
　について、これまで定義されていなかった
　g'=1/Δt*(u(t)-u(t-Δt))
　が突然出てきたので、ますます混乱しております。
　恐れ入りますが、今一度
　「g'=0 (t<0),1/Δt (0<t<Δt),0 (t>Δt)」の微分が
　「t=0で大きさ1/Δtのδ関数、t=Δtで-1/Δt*δ(t-Δt)
　　のΔt->0の極限をとったもの」
　となる導出手順をご教示いただきたくお願いいたします。