1/cos x、1/(cos x)^2の積分について

質問

1/cos xや1/(cos x)^2の不定積分を、「微分の逆計算」とする以外に、導く方法はありませんか？

というのも、私の使っている教科書では、1/cos xや1/(cos x)^2の不定積分が「いくつかの関数の不定積分」と称して公式のように書かれています。ふと、それがどのように導かれているのかを知りたくなったんですが、教科書には「微分することで元の関数に成っていることを確認せよ」としか書かれていません。仕方なく微分してみたら確かに元の関数になったんですが、なにかしっくり来ません。

「微分の逆計算」を認めずに、1/cos xや1/(cos x)^2の不定積分を導く方法があれば、是非知りたいです。
よろしくご教授お願いします。

回答No.2

nettiw · ベストアンサー

p2=∫dx[1/(cos x)^2]

tanx=T
dx*[1/(cos x)^2]=dT
dx=dT[(cos x)^2]

p2=∫dT[(cos x)^2][1/(cos x)^2]
=∫dT=T=tanx

loopになっていて、
逆算しているのと同じです。
---

p1=∫dx[1/cosx]
=∫dx[cosx/(cosx)^2]
=∫dx[cosx/((1-sinx)(1+sinx))]
sinx=T
dx*cosx=dT
dx=[dT/cosx]
=∫[dT/cosx][cosx)/(1-sinx)(1+sinx)]
=∫dT[1/(1-T)(1+T)]
=(1/2)∫dT[{1/(1-T)}+{1/(1+T)}]
=(1/2)[-log|1-T|+log|1+T|]
=(1/2)[-log(1-sinx)+log(1+sinx)]
=(1/2)log[(1+sinx)/(1-sinx)]
=(1/2)log[(1+sinx)^2/(cosx)^2]
=log|(1+sinx)/cosx|

あるいは、

p1=∫dx[1/cosx]

tan(x/2)=T
dx((1/2)/[((cos(x/2))^2)])=dT
dx(1/2)[1+(tan(x/2))^2)]=dT
dx(1/2)[1+(T^2)]=dT
dx=2dT/[1+(T^2)]

cosx=[((cos(x/2))^2)-((sin(x/2))^2)]/[((cos(x/2))^2)+((sin(x/2))^2)]
=[1-((tan(x/2))^2)]/[1+((tan(x/2))^2)]
=[(1-(T^2))/(1+(T^2))]
1/cosx=[(1+(T^2))/(1-(T^2))]

p1=∫dx[1/cosx]
=∫(2dT/[1+(T^2)])[(1+(T^2))/(1-(T^2))]
=2∫dT/(1-(T^2))
=2∫dT/(1-T)(1+T)
=∫dT[{1/(1-T)+{1/(1+T)}
=-log|1-T|+log|1+T|
=-log|1-tan(x/2)|+log|1+tan(x/2)|
=log|[1+tan(x/2)]/[1-tan(x/2)]|
=log|[cos(x/2)+sin(x/2)]/[cos(x/2)-sin(x/2)]|
=log|[cos(x/2)+sin(x/2)]^2)/cosx|
=log|(1+sinx)/cosx|
---

お礼

詳しいご回答を頂いたので、じっくり考えてからお礼申し上げたかったのですが、その時間が取れそうもないです・・・質問しっぱなしになって申し訳ありません。

また、確認しておこうと思います。
詳しいご回答ありがとうございました。

回答No.1

Tacosan

三角関数が入って積分しにくいときは
t = tan x/2
と置換するのが常道ですね. 形によっては
t = sin x
とか
t = cos x
ともしたりしますが.

お礼

三角関数の入ったような積分に出くわしたことがなかったので
（積分を習った時にはきっと出くわしていたと思います・・・が・・・すっかり忘れてしまっています＾＾；）
その方法には気づきませんでした。

ご回答ありがとうございました。