- ベストアンサー
三角関数の積分
- みんなの回答 （3）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
I=∫sin^2(x)dx =∫sin(x)sin(x)dx =∫(-cos(x))'sin(x)dx =-cos(x)sin(x)-∫(-cos(x))cos(x)dx =-cos(x)sin(x)+∫cos^2(x)dx =-cos(x)sin(x)+∫(1-sin^2(x))dx =-cos(x)sin(x)+x-I+C(積分定数) ∴2I=x-sin(x)cos(x)+C より、 I=(x-sin(x)cos(x))/2+C と出来ます。積分定数は取り直しました。 ∫cos^2(x)dxに部分積分を使うと元に戻ってしまうので、三角関数同士の積で部分積分を使うとき、うまくいかない場合はsin^2(x)+cos^2(x)=1をうまく使うのがミソです。
その他の回答 (2)
- rangeru
- ベストアンサー率34% (15/44)
虚数をiとして、オイラーの公式 exp(ix)=cos(x)+isin(x) を用いてsinxを、 sinx=｛exp(ix)-exp(-ix)｝/2i と表し、これを２乗してから積分すれば解けます。
- debut
- ベストアンサー率56% (913/1604)
∫sin^2(x)dx =∫(1-cos^2(x))dx =∫(1-cosx)(1+cosx)dx =∫(x-sinx)'(1+cosx)dx =(x-sinx)(1+cosx)-∫(x-sinx)(-sinx)dx =(x-sinx)(1+cosx)+∫(x-sinx)(sinx)dx =(x-sinx)(1+cosx)+∫xsinxdx-∫sin^2(x)dx のようにすればできるのでは？
関連するQ&A
- 三角関数の積分計算ですが…
∫sin^2(x)dx の積分計算をしたいのですが、半角（２倍角）の公式を使わずに、という制限つきでした。 t=tan(x) とおいて、sin^2(x)=t^2/(1+t^2) dx=dt/(1+t^2) という形にして解こうと思ったのですが、∫(t^2/(1+t^2)^2)dt となってっしまい解けませんでした。他にも sin^2(x)を(√1-cos^2(x))*sin(x) として、cos(x)で置換積分を試みましたが、 √(1-t^2)がでてくるため無理でした。どうすればうまくいきますか？ ちなみに必要かどうかはわかりませんが、積分区間は 0→2π でした。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 初歩の三角関数積分について
高校数学をやり直している者です。 y=sin^2(x)の積分は、倍角の公式を用いて、 sin^2(x)=(1-cos(2x))/2として進めるのが定番となっていますが、 y=t^2, t=sin(x)とした置換積分の手法では、正答と結果が違います。 y=t^2, t=sin(x) Y=∫t^2 dx, dx=(1/cos(x))dt Y=(1/cos(x))∫t^2 dt Y=(1/cos(x))*(t^3/3) Y=(1/cos(x))*(sin^3(x)/3) この置換積分のどこがいけないのでしょうか？
- 締切済み
- 数学・算数
- 積分（三角関数・・・？）
∫cos3xsin5xdxという問題で、次の式が(1/2)∫(sin8x+sin2x)dxという式になっていて、何処から導かれたのかが分かりません・・・。cosが消えているということで、２倍角の公式とか使えるのかなとも考えてみましたが、うまく出来ませんでした。おねがいします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 三角関数について
三角関数についてご質問です。 ーーーーーーー あ）半角の公式の証明はどうやってやるんですか。教科書に半角公式自体載っていません。 ーーーーーーー い）０≦ｘ＜πの範囲でsin（２ｘ）＝cosxを満たす角をすべて答えよ。 で、この問題は手の付けようがありません。2倍角の公式を使うのですか？ ーーーーーーー う）sin（α＋β）sin（α-β）＝（sinα）＾２－（sinβ）＾２となることを示せ。 sin（α＋β）sin（α-β）＝（sinαcosβ）＾２－（cosαsinβ）＾２まではわかったのですが、ここからわかりません。 ーーーーーーー 長文ですみません。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
返信ありがとうございます！！ こんなふうに解けるなんて思いつきもしませんでした！！