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sin(x^2)やcos(x^2)の不定積分
sin(x^2)やcos(x^2)の不定積分が初等関数で表せないことはexp(-x^2)の不定積分が初等関数にならないことと、同様に証明できるはずだと思うのですが、どのようにして証明されるのでしょうか。「Mathematicaでできないからできない。」というようなことではなく、きちんとした論証を知りたいのです。
- grothendieck
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- mmky
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追伸 「級数は、ダランベールの収束判定法によれば任意のｘについてなので収束すると思いますが。」 ご指摘のように f(x)exp(-x＾2)という関数は f(0)=1, f(∞)=0 の連続関数ですから無限級数展開して任意の区間の項別積分の総和は収束値を持っています。実際にガウス分布の数値表などは数値積分法で区間別のf(x)値を計算していますね。ただ, x→∞ではどうかですね。 ガウス先生は, ∫[0→R]exp(-x＾2)dx を [R→∞]の 場合にのみについて初等積分法と挟み撃ちの方法で解いてますね。 ∫[a～b]exp(-x＾2)dx については数値積分で計算はできますね。数値積分なども含めて初等関数というのならexp(-x＾2)は微妙な関数ですね。
- mmky
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追伸の参考程度に [展開式の項別積分が計算できないとはどういうことなのでしょうか。] 項別積分可能でも総和としての値（積分の収束値）が決定できないということですね。
お礼
ご回答ありがとうございます。 Σ(-1)^n x^(2n+1)/(2n+1)n! という級数は、ダランベールの収束判定法によれば任意のｘについて lim｜a[n+1]/a[n]｜=lim x^2 (2n+1)/(2n+3)(n+1)=0 なので収束すると思いますが。
「exp(-x^2)の不定積分が初等関数でかけないことを使って sin(x^2)やcos(x^2)の不定積分が初等関数で表せない」ことを示すのではなくて、 単に「exp(-x^2)の不定積分が初等関数にならないこと」の証明でいいですね? 95年10月号の数学セミナーにのっています。 しかし、リュービルの定理に帰着されてしまっています。 それ以上は、私は追跡してないので分かりません。
お礼
ご回答ありがとうございます。mmkyさんもお書きになっているようにexp(-x^2)の不定積分が初等関数でなければ sin(x^2)やcos(x^2)の不定積分も初等関数でないことは言うまでもありません。
- mmky
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追伸の参考程度に f(x)=exp(-x^2) f(x)をexp の展開式を使って展開すると、 exp(-x^2)=1+(-x^2)/1!+(-x^2)^2/2!＋(-x^2)^3/3!+・・+(-x^2)^n/n! + ・・ =1 - x^2/1! + x^4/2! - x^6/3! + x^8/4! +・・ + x^2n/n! - x^2(n+1)/(n+1)!・・ f(x)の積分値は展開式の項別積分として表せますね。 ∫f(x)dx=∫{1 - x^2/1! + x^4/2! - x^6/3! + x^8/4! +・・+ x^2n/n! - x^2(n+1)/(n+1)!・・}dx この値が計算できないということですね。 ｇ(x)=exp(x) などの積分可能関数と比較するとわかります。 ｇ(x)=exp(x), exp(-x) の場合は微分しても積分しても同一の無限級数になるので計算できるのですね。 exp(x)=1+x/1!+x＾2/2!+ x＾3/3! +・・＋x^n/n!＋・・ d{exp(x)}/dx==1/1!+2x/2!+ 3x＾2/3!+・・＋nx^n-1/n!＋・・ =1+x/1!+x＾2/2!+ x＾3/3! +・・＋x^n-1/(n-1)!＋・・=exp(x) ∫exp(x)dx=x+x＾2/2*1!+x＾3/3*2!+ ・・＋x^(n+1)/(n+1)*n!＋・・ =x/1!+x＾2/2!+x＾3/3!+ ・・＋x^(n+1)/(n+1)!＋・ =exp(x)-1 つまり関数exp(x), exp(-x)が特別な数列を持っているということなんですね。ところがexp(x＾2), exp(-x＾2)は単なる非線形関数なので簡単には計算できないんです。exp(-x)と形式が同じだから出来ると考えてはいけないものなのですね。
お礼
ご回答ありがとうございます。展開式の項別積分が計算できないとはどういうことなのでしょうか。初等関数になるとすると矛盾が起こるとか、初等関数になる条件が満たされたないとかいうのでないと、ちゃんとした論証とはいえないと思います。
- mmky
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参考程度に オイラーの関係式 e＾ix=cosx ＋i*sinx からsinx＾2、cosx＾2 は、 sinx＾2={e＾ix＾2 - e＾-ix＾2}/2i cosx＾2={e＾ix＾2 ＋ e＾-ix＾2}/2 で表せるので、exp(-x^2)の不定積分が初等関数にならないと同じように, sinx＾2、cosx＾2 は初等関数では計算できないのです。
お礼
ご回答ありがとうございます。exp(-x^2)の不定積分が初等関数にならないことは有名ですが、証明となると知っている人は少ないようです。exp(-x^2)の不定積分が初等関数にならないことはどのように証明されるのか教えていただければ幸いです。
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