sinの不定積分についての質問です。

質問

sinの不定積分についての質問です。

∫sin^2xdxという不定積分なのですが、∫sin^2x^1+1/1+1=sin^2x^2/2というところまではやってみたのですが（あっているかはわからないのですが）、ここからどうしていいのか分からず困っています。これが最終的な答えになるのでしょうか？数学があまり得意ではないので詳しく説明してくださるとうれしいです。

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

#1,#2です。

A#2の補足質問の回答

>とても基礎の質問とはおもうのですが
>=x/2-(1/4)sin(2x) +C
>のときになぜ(1/4)になるのでしょうか？

積分が微分の逆操作ですから
「(1/4)sin(2x)」を微分して被積分関数の「(1/2)cos(2x)」になっていれば
積分が正しいといえます。
積分の基礎は微分です。微分法をしっかりマスターしておいてください。

「(1/4)sin(2x)」の微分は分かりますか？
{(1/4)sin(2x)}'=(1/4)cos(2x)*(2x)'=(1/4)cos(2x)*2=(1/2)cos(2x)
と被積分関数になりましたね。この際の(2x)の微分から2が出てきます。
積分は逆操作ですから(1/2)倍してもともとの(1/2)にこの(1/2)をかけて(1/4)が出てくるのです。

>∫cosxdx=sinx+cではないのでしょうか？
これは公式ですからその通りです。

合成関数の積分の理解がまだされていないようです。合成関数の微分公式、言い換えれば
合成関数の積分公式をしっかりマスターしてください。

合成関数の微分公式
{f(g(x))}'=f'(g(x))*g'(x)…(★)
合成関数の積分公式
∫f'(g(x))*g'(x)dx=f(g(x))+C (Cは積分定数)

今の場合
{f(x)}'=f'(x)
f(x)=sin(x),f'(x)=cos(x)
この式にxの代わりにg(x)=2xを代入すると
(★)の公式からg'(x)=2をかける必要があるのです。
つまり
{f(2x)}'=cos(2x)*(2x)'=cos(2x)*2=2cos(2x)
これを積分で表現すれば
∫2cos(2x)dx=f(2x)=sin(2x)+C'
2で割れば
∫cos(2x)dx=(1/2)f(2x)=(1/2)sin(2x)+C (C=C'/2とおく)
とxが2xで置き換わると積分は(1/2)倍になります。
（微分は逆に2倍になります）

(★)の微分公式をしっかりと覚えましょう。

補足

重ねてのご回答ありがとうございます。また合成関数についてご教授くださり感謝しています。
(1/4)sin(2x)の微分を理解いたしました。
しかし(1/2)cos(2x)の積分となると、どうしても2xの積分がx^2となるので、答えがx^2/2になってしまいます。誠に重ねての質問になるのですがなぜ2xの積分が1/2になるのでしょうか？

回答No.4

info22_

#1,#2,#3です。

A#3の補足質問の回答

>しかし(1/2)cos(2x)の積分となると、どうしても2xの積分がx^2となるので、答えがx^2/2になってしまいます。誠に重ねての質問になるのですがなぜ2xの積分が1/2になるのでしょうか？

積分は微分の逆ということは言いました。
微分、つまり微小な要素を足し合わせる操作が積分です。
まず微分ありきです。微分公式を逆に適用して積分公式があるともいえます。
疑問点や積分が正しいかは、積分結果を微分して元の関数に一致すれば、その積分が正しかったと確認できるのです。

まず積分ありきという発想があるから
cos(2x)の中の2xを積分しようとする間違った発想をするのだと思う。
あくまでも微分法ありきという考えで、合成関数の微分公式にしたがって考えて下さい。
{f(g(x))}'=f'(2x)g'(x)
ですよ。

cos(2x)の積分はcosの積分であって2xの積分ではありません。なぜ2xの積分をするのですか？
「まず微分ありき」なので積分が正しいかどうかは微分してみて確認する。
{x^2}'=2x,∫2xdx=x^2+C 自体は正しいですが

2xがcosやsinの中に入っている場合の積分は、合成関数の微分公式で正しいか確認します。
{sin(2x)}'=cos(2x)*(2x)'=2cos(2x)
したがって
∫2cos(2x)dx=sin(2x)+C'
２で割って
∫cos(2x)dx=(1/2)sin(2x)+C (C=C'/2とおく）
となります。何処からも「(1/2)x^2」の項など出てきませんね。

微分の基礎が出来ていないと間違った積分をしても気がつかないのです。
微分の基礎があって正しい積分が出来ます。
今回の疑問はその欠点「微分法に裏付けられていない形だけの誤った積分をしてしまうこと」を曝け出しているわけです。
これを機会に微分法に裏付けられた積分法の考え方をするようにすれば、今回のような間違いをしなくなると思います。

[ポイント]
積分法は微分法の逆操作であること。
積分の正しさの確認は積分結果を微分して確認すること。
積分の基礎は微分法にあり⇒「積分法の前に微分法ありき」ということ。
以上を忘れないこと。

お礼

重ねてのご回答誠にありがとうございます。
また丁寧に私の疑問に答えてくださり感謝しています。合成関数の基礎ができていないことは重々承知しております。今後へのアドバイスもとても参考になります。

回答No.2

info22_

>(-cos2x)dxから2x=t, dt=2dxと置き換えて計算することはわかったのですがなぜdt=2dxとしないといけないのですか？

A#1の解答では上の置換はしてませんよ。
あなたが自分で置換しているのでは、自分でやった置換が分からず、回答者に訊くのですか？

2x=t　とおけば　この関係式の両辺の微分をとれば
2dx=dt

となりませんか？

基礎的なことなので、教科書や参考書で、変数変換の所を少し復習し直し理解できるようにしておいてください。

補足

ご回答の方ありがとうございました。
また、大変失礼いたしました。置き換えというテクニックでしか解けない問題かと思っていました。
また、置き換えのところも解説してくださりまことにありがとうございます。

とても基礎の質問とはおもうのですが
=x/2-(1/4)sin(2x) +C
のときになぜ(1/4)になるのでしょうか？∫cosxdx=sinx+cではないのでしょうか？

置き換えを使った場合は理解できたのですが、置き換えを使っていないとのことなのでわからず困っています。
今現在学生ではなく、基礎の参考書(高校生用）をよんではいるのですがわたしの数学のレベルがそれよりも低く、わからないことだらけで苦戦しています。どうかご回答の方よろしくお願いいたします。

回答No.1

info22_

>∫sin^2x^1+1/1+1=sin^2x^2/2
計算の意味不明？

この積分は三角関数の公式
sin^2x＝(1-cos(2x))/2
を用いれば積分できます。

I=∫sin^2xdx=∫{(1/2)-(1/2)cos(2x)}dx
=x/2-(1/4)sin(2x) +C
(Cは積分定数）

補足

ご回答のほうありがとうございます。
(-cos2x)dxから2x=t, dt=2dxと置き換えて計算することはわかったのですがなぜdt=2dxとしないといけないのですか？誠に基礎の質問ですいません。