「微分」と「導関数」 「不定積分」と「原始関数」

質問

高校で授業をしていてふと疑問に思ったことです。

手元の高校の教科書（数研）では「導関数を求めること」を「微分する」と表現していて、
「微分」という言葉は演算を表す動詞で、その結果を表す名詞（？）ではないようなのですが、
f(x)に対してf'(x)のことを「fの微分」とも呼びませんでしたっけ？

同じように積分に関してなんですが、
教科書では「F'(x)=f(x)であるF(x)をf(x)の不定積分または原始関数という」となっているんですが、
この「不定積分」と「原始関数」ってもともと別に定義していたように思うのです。

どうも、用語の使い分けが混乱しているので、
　「微分」と「導関数」
　「不定積分」と「原始関数」
この正式な使い分けについて、教えてほしいのです。
もっとも、高校ではあまり厳密にうだうだ言ってもかえって混乱するので、ある程度で流すわけですが。。。
よろしくお願いします。

回答No.2

siegmund · ベストアンサー

> f(x)に対してf'(x)のことを「fの微分」とも呼びませんでしたっけ？

そうはいいません「fを微分したもの」という言い方はします．
微分とは dy や dx を意味します(微小変化分ということだと思います)．
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=236331
で議論がありました．

不定積分と原始関数はもう少し使い分けが微妙のようです．
実は私も授業であんまり区別していません．
例えば，
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8E%9F%E5%A7%8B%E9%96%A2%E6%95%B0
に説明があります．

お礼

以前にも結構な議論になっていたようですね。
大学の講義の中で「dx」が「微分＝微小変量を表して・・・」というのは聞いた気もするんですが、
同時に高校や予備校の授業の中で「微分して」というところを「この関数の微分を求めて・・・」とも言ってたように思ったんです。
完全な誤用ということでしょうかね？

ありがとうございました。

回答No.5

damegakusei

えー、高木貞治先生の解析概論によると、
ｄｘ、ｄｙの事をそれぞれ、ｘの微分（differential）、ｙの微分、と言うそうです。

derived function 略して derivative と言う単語が導関数の事なのですが、この意味は‘微分方によってｆ（ｘ）から導き出される関数'だそうです。

また、dy/dxを英米系統では微分係数（differential confficient）、ドイツ系統では微分商(Differentialquotient)といいます。

これらは一点ｘにおけるdy/dxの意味であり、Newtonの所謂‘流動率'（fluxion）の事なので、導関数とは異なる物である、と言えます。

恐らく、導関数と微分とを混同してしまうのは、微分係数or微分商と導関数を混同している為、だと推測します。

微分商、微分係数を略して微分と呼称してしまう事は怒り得る事と思いますが、厳密にはこれらは間違った略し方です。

ちなみにｆの微分と表現するならば、それはdfの事を指します。

お礼

大変遅くなってしまいました。

大学時代の教科書を掘り出してみてみたのですが、「dx」,「dy」についての詳しい表記は手元のものにはなかったので。
細かく調べていただいてありがとうございました。

微分に関しては完全に誤用だというのはわかったわけですが、
積分のように高校教育の場面ではどこまでが許されるのだろうかと。
こういう例は気づいていないだけで意外とあるのかなぁとも思いました。

今回は皆さんありがとうございました。

回答No.4

pyon1956

f(x)の原始関数はF'(x)=f(x)となるような関数F(x)
不定積分は定数aから変数xまでのf(x)の定積分をあらわすものと考えられています。
なのでy=2xについて
原始関数はy=x^2+c (cは任意の実数）
不定積分はy=x^2-a^2 (aは任意の実数）となるはずですので
aになにをいれてもcが正の数になる場合とは一致しません。
昔の三省堂の教科書には解説の方にそういうことが（多分森毅さんの
解説で？）のっていました。
まあおっしゃるとおり高校教育では混乱を避けるためあえて同一視してますが。
慣用の問題として処理するのが妥当なところではないかと思います。

お礼

不定積分と原始関数では意味が明確に違って、
「定積分の積分区間に変数xが含まれて、計算結果がxにより不定になったもの」が不定積分っていう解釈でしょうか。

微分のようにおそらく「不定積分＝原始関数」というのは誤用なのでしょうが、
どこまでが容認の範囲なのか、微妙なところですね。

ありがとうございました。

回答No.3

Mackey_Siro

私は大学生ですが、私見なので参考がてらに・・・

微分と導関数に関しては・・・、導関数は「関数の傾きのを表す関数」という認識ですねぇ。微分にはそういう認識はありませんが、f'(x)は「f(x)の微分」と言うと思いますよ。以降、２階微分・・・n階微分、って言いますし。微妙な違いはあると思いますが、ほとんど同じだと思います。そこを突っ込まれたりしたんですか？

不定積分にと原始関数に関しては、不定積分には積分定数が含まれますよね？原始関数はその数ある不定積分の一つを指すような気がします。F'(x)=f(x)となるＦを不定積分とは言わないような気がします。不定積分はあくまで、∫f(x)dxのことを指すと思います。

専門も数学ではなく、差し出がましいですが、参考になればと思います。

お礼

そうなんですよ。
f'(x)を求めることを、「f(x)の微分を求めて・・・」とか言ってたように思ったんです。
聞きなれているようでも、実は誤用だったということでしょうかね？
不定積分に関してはまだどうも微妙ですね。。。

ありがとうございました。

回答No.1

adinat

国語の問題ですが、「微分＝導関数」は名詞で、「微分する」が動詞です。同様に「原始関数＝不定積分」が名詞で、「不定積分する」が動詞です。

導関数を求める＝微分する
原始関数を求める＝（不定）積分する

と思えば問題はないと思います。あと

微分＝導関数
原始関数＝不定積分

は同じ用語を複数の言い方をしているだけです。使い分ける必要はあまりないと思います。趣味で使い分けている人がいるかも知れませんが。

お礼

どうやら「同じ用語を複数の言い方をしているだけ」というわけではないようなんです。
少なくとも「微分」という名詞は高校の教科書には存在していなく、
「次の関数の微分を求めなさい」という表現は何を見てもなかったわけです。
そこが疑問だったんです。

ありがとうございました。