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不定積分の微分
ちょっと表現の仕方がわからなかったのですが、下の積分の解き方に苦労しています。さらに、その積分したものを微分しないといけないのですが... ∫e^x.(f(t-x))^3 dx (積分区間は0からt)です。 部分積分で解いてみようと試みたのですが、なにせ不定関数も混ざっているので、ちょっとやりづらいんです… どなたか上の積分の解き方を教えてはもらえないでしょうか。さらにその積分で出た解も微分したいのですが、それも踏まえてよろしくお願いします。
- victorhock
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一般に∫[0,t]f(x)dxはtの関数でそれをtで微分した (d/dt)∫[0,t]f(x)dx は (d/dt)∫[0,t]f(x)dx=f(t) となることは知っていると思う。だから (d/dt)∫[0,t]e^x.(f(t-x))^3 dx=e^t.(f(t-t))^3=e^t.(f(0))^3 ということは もとの不定積分∫e^x.(f(t-x))^3dxはxの関数で、xで微分したらe^x.(f(0))^3になるものだから、e^x.(f(0))^3+Cのはず。
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- info22
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#1です。 A#1は勘違いしていたようです。 間違いですのでA#1は削除してください。 #6さんの通りf(t-x)=f(y)とするy=t-xの置換をするやり方が正解ですね。 つまり、 g(t)=∫[0,t]exp(x)*(f(t-x))^3dxとおくと g(t)=exp(t)∫[0,t]exp(-y)*(f(y))^3dy…(Ans.1) となるので g'(t)=g(t)+(f(t))^3 =(f(t))^3+exp(t)∫[0,t]exp(-y)*(f(y))^3dy …(Ans.2) ということですね。なお、最後の式の積分は 定積分なので積分変数のyは他の文字に置き換えても問題ないですね。 【正誤の確認法】f(x)に適当な具体的関数(たとえばf(x)=sin(x)など)に置き換えて実際に g(t)やg'(t)を求めて見るとA#1の結果は正しくないことが確認できます。 お騒がせしました。
- f272
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#3です。 大きく勘違いしてました。 #6の人のようにしてください。
- Ae610
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∫[0~t]e^x・(f(t-x))^3 dx t-x=y とおくと dx=-dy x=0のときy=t , x=tのときy=0 与式=g(t)とおけば g(t)=e^t・∫[0~t]e^(-y)・(f(y))^3 dy 依って d/dt{g(t)}=e^t・∫[0~t]e^(-y)・(f(y))^3 dy + e^t・e^(-t)・{f(t)}^3 =g(t) + {f(t)}^3
- rnakamra
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#4のものです。 #3についても教えてください。 d/dt∫[0,t]f(x)dx=f(t) としていますが、f(x)の式の中にtが含まれる場合、この式は成り立たないと思いますがどうでしょうか。 f(x)の不定積分F(x)に0を代入したものがtを含んでいるためtで微分してもゼロにならないような気がするのですが。
- rnakamra
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ちょっと混乱しているので質問させてください。 #1の回答で >g(t)=(e^t)(f(0))^3+C >g(0)=(f(0))^3+C これって本当に成り立ちますか?g(x)はxの関数ではありますが、tも含んでいるために成り立たないような気がします。 第一、g(x)=(e^x)(f(0))^3+Cであるなら、g'(x)=(e^x)(f(t-x))^3は成り立たないような気がするのですが。 #2の変形をするのが正しいと思うのですが。
- Tacosan
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∫e^x (f(t-x))^3 dx = ∫e^(t-x)(f(x))^3 dx = e^t ∫e^-(x) [f(x)]^3 dx だけど, f(x) が分からないとこれ以上は進まないような気がする.
- info22
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g(x)=∫(e^x)(f(t-x))^3 dx…(△)とおくと g'(x)=(e^x)(f(t-x))^3 g'(t)=(e^t)(f(0))^3…(●) g(t)=(e^t)(f(0))^3+C g(0)=(f(0))^3+C ∫[0,t](e^x)(f(t-x))^3 dx=g(t)-g(0) ={(e^t)-1}(f(0))^3…(Ans.(1)) (△)から {∫[0,t](e^x)(f(t-x))^3 dx}'={g(t)-g(0)}' =g'(t)=(e^t)(f(0))^3 …(Ans.(2))
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