ガウス記号について

質問

ガウス記号が全くわかりません。
以下のガウス記号の問題について解答と解説をしていただけませんでしょうか？

実数xに対して、xを超えない最大の整数を[x]で表し、更に{x}＝x－[x]とおく。xが[xの2乗]－2[x]＝{x}－1/2を満たすとき、{x}、xの値を求めよ。

[xの2乗]－2[x]＝x－[x]－1/2までしか進められません。
どうかお願いします。

回答No.4

kumipapa · ベストアンサー

＞ [x^2] + [2x] = {x} + 1/2 が解けませんでした
なんでやねん。同じように考えれば良いでしょう。ちょっと丁寧に・・・
[x^2] + [2x] = {x} + 1/2
[x^2] + [2x] = x - [x] + 1/2
[x^2] + [2x] + [x] = x + 1/2
左辺は整数だから、それを n とおくと
x + 1/2 = n
x = n - 1/2
これを元の式に代入すると、
[(n - 1/2)^2] + [2(n - 1/2)] + [n - 1/2] = n
[n^2 - n + 1/4] + [2n - 1] + [n - 1/2] = n　・・・（１）
わざわざ説明しないくて良いとは思うのですが、
n^2 - n ＜ n^2 - n + 1/4 ＜ n^2 - n + 1 より [n^2 - n + 1/4] = n^2 - n
2n - 1 は整数だから、[2n - 1] = 2n - 1
n - 1 ＜ n - 1/2 ＜ nより [n - 1/2] = n - 1
これらを（１）式に代入して、
(n^2 - n) + (2n - 1) + (n - 1) = n
n^2 + n - 2 = 0
(n - 1)(n + 2) = 0
n = 1, -2
x = n - 1/2 より
x = 1 / 2, - 5 / 2

元の式 [x^2] + [2x] = x - [x] + 1/2 に代入して確かめてみると
x = 1 / 2 のとき
左辺 = [(1/2)^2] + [2(1/2)] = [1/4] + [1] = 0 + 1 = 1
右辺 = (1/2) - [1/2] + 1/2 = 1/2 - 0 + 1/2 = 1
で左辺＝右辺が成立
x = - 5 / 2 のとき
左辺 = [(- 5/2)^2] + [2(- 5/2)] = [25/4] + [ - 5 ] = 6 - 5 = 1
右辺 = (- 5/2) - [- 5/2] + 1/2 = - 5/2 + 3 + 1/2 = 1
で左辺＝右辺が成立

お礼

御丁寧に説明していただいてありがとうございます。
やっと点と点がつながって、理解出来ました。
ありがとうございます！

回答No.3

R_Earl

ANo.2です。計算ミスしていました。

一番最初の部分ですが

＜誤＞
********************************
[xの2乗] - 2[x] = x - [x] - 1/2

右辺の[x]を左辺に移して

[xの2乗] - 3[x] = x - 1/2
********************************

＜正＞
********************************
[xの2乗] - 2[x] = x - [x] - 1/2

右辺の[x]を左辺に移して

[xの2乗] - [x] = x - 1/2
********************************

でした。申し訳ありません。

お礼

大変参考になりました。ありがとうございます。

回答No.2

R_Earl

[xの2乗] - 2[x] = x - [x] - 1/2

右辺の[x]を左辺に移して

[xの2乗] - 3[x] = x - 1/2

[xの2乗]も[x]も整数なら、[xの2乗] - 3[x]も整数ですよね？
つまり左辺は整数です。
左辺と右辺がイコールでつながれているから、
左辺が整数なら、当然右辺も整数ですよね？
つまり

x - 1/2 = (整数)

となります。ここで-1/2を右辺に移項すると

x = (整数) + 1/2

整数を適当な文字式nでおけば、

x = n + 1/2　（nは整数）

です。これを[xの2乗] - 2[x] = x - [x] - 1/2に代入します。
[x]にx = n + 1/2を代入すると

[x]
= [n + 1/2]
= n

となります。どうしてだかわかりますか？
n = -1, 0, 1, 2, 3, ……と代入していけば多分分かります。
同様の理由で

[xの二乗] = (nの二乗) + n

となります。これを代入していって[xの2乗] - 3[x] = x - 1/2の
ガウスの記号を全部nの式に変えてしまえば、
最終的にnの二次方程式になるはずなので簡単に答えがでると思います。

お礼

大変参考になりました。
ありがとうございます。

回答No.1

kumipapa

＞　[xの2乗]－2[x]＝x－[x]－1/2
この式の左辺と右辺をよーく見ましょう。
左辺の値は整数にしかならない。
だから、右辺も整数でないとあきまへんのどす。
定義より、０ ≦ x - [x] ＜ １ですから、右辺が整数になるためには、x - [x] = 1/2 でないとね。
ということで、n を整数として x = n + 1/2 。
あとは、これを式に代入して n について解くと n = 0, 1 が得られるので、x = 1/2, 3/2

お礼

ありがとうございます。大変参考になりました。
この後教えていただいた通りに問題を数問解いてみたのですが、いまいち定義が分かっていなくて、
[xの2乗]＋[2x]＝{x}＋1/2の場合が解けませんでした。
定義とこの問題についても解答解説をお願いできますでしょうか？