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コンパクトな集合の例
コンパクトな集合とコンパクトな集合の積集合が、コンパクトにならない例について、おしえてください 空間がハウスドルフでしたら、そのような例がないことまではわかったのですけど、具体的な例が思いつきませんでした どうかよろしくおねがいします
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積集合って共通部分集合(intersection)で良いんですよね。 直積集合の意味ならチコノフの定理があるし。 それで、例を考えてみました。T1にもなりませんが、T0です。 区間[0,1]に一点pを加えて X=[0,1]∪{p} とします。位相は[0,1]の開集合とXを開集合とします。 こうするとXはコンパクトです。またpを含む任意の部分集合もコンパクトです。 # pを被覆する開集合はXだけですから A=[0,1] B=(0,1)∪{p} とするとどちらもコンパクトです。 A∩B=(0,1) はコンパクトではありません。
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