集合族の和集合や積集合を教えてください

質問

松坂和夫の位相集合入門を読んでいます。
集合族自体の理解が危うく、19ページでその和集合や積集合の話なって完全に行き詰りました。

たとえばA={a,b}のべき集合の要素は、∅ ,{a} ,{b} , {a,b}ですが、
この４つは相異なりますからこれらの集合の積集合は無いと思います。
それに限らず一般にべき集合の要素は全て相異なるのでしょうから、集合族の積集合を考えても無意味に思います。
ですが本では集合族の和集合や積集合に言及されていることから、すでに理解が追いついていないとお思いました。
実際に集合族の和集合や積集合とはどんなものか、具体例から説明してくださればありがたいです。
また、Xの要素xを変数として含む文章pについてその文章が真になり得ることを
∃x∈X(p)と書くと約束すると
集合族をSとしたときに、明らかにその和集合は∪S={x|∃A∈S(x∈A)}と書けるという風にかいてあったのですが、私には全然分かりません。∃A∈S(x∈A)という条件を自然な言葉に置き換えられません。集合族のある要素Aにxが含まれている?という条件を満たすxと強引に解釈してみても、これも真偽を確かめられる具体例も思いつかず理解できている気がしません。
これについても解説いただければ幸いです。

回答No.1

muturajcp · ベストアンサー

集合族とは
集合の集合のことをいいます
例えば
A={a,b}の部分集合族は

S1={φ}
.......→∩_{B∈S1}B=φ
.......∪_{B∈S1}B=φ
S2={{a}}
........→∩_{B∈S2}B={a}
........∪_{B∈S2}B={a}
S3={{b}}
........→∩_{B∈S3}B={b}
........∪_{B∈S3}B={b}
S4={{a,b}}
..........→∩_{B∈S4}B={a,b}
..........∪_{B∈S4}B={a,b}
S5={φ,{a}}
...........→∩_{B∈S5}B={a}∩φ=φ
...........∪_{B∈S5}B={a}∪φ={a}
S6={φ,{b}}
...........→∩_{B∈S6}B={b}∩φ=φ
...........∪_{B∈S6}B={b}∪φ={b}
S7={φ,{a,b}}
.............→∩_{B∈S7}B={a,b}∩φ=φ
.............∪_{B∈S7}B={a,b}∪φ={a,b}
S8={{a},{b}}
............→∩_{B∈S8}B={a}∩{b}=φ
,...........∪_{B∈S8}B={a}∪{b}={a,b}
S9={{a},{a,b}}
..............→∩_{B∈S9}B={a}∩{a,b}={a}
.........,....∪_{B∈S9}B={a}∪{a,b}={a,b}
S10={{b},{a,b}}
...............→∩_{B∈S10}B={b}∩{a,b}={b}
..........,....∪_{B∈S10}B={b}∪{a,b}={a,b}
S11={φ,{a},{b}}
................→∩_{B∈S11}B=φ∩{a}∩{b}=φ
...........,....∪_{B∈S11}B=φ∪{a}∪{b}={a,b}
S12={φ,{a},{a,b}}
..................→∩_{B∈S12}B=φ∩{a}∩{a,b}=φ
.............,....∪_{B∈S12}B=φ∪{a}∪{a,b}={a,b}
S13={φ,{b},{a,b}}
..................→∩_{B∈S13}B=φ∩{b}∩{a,b}=φ
.............,....∪_{B∈S13}B=φ∪{b}∪{a,b}={a,b}
S14={{a},{b},{a,b}}
...................→∩_{B∈S14}B={a}∩{b}∩{a,b}=φ
..............,....∪_{B∈S14}B={a}∪{b}∪{a,b}={a,b}
S15={φ,{a},{b},{a,b}}
......................→∩_{B∈S15}B=φ∩{a}∩{b}∩{a,b}=φ
.................,....∪_{B∈S11}B=φ∪{a}∪{b}∪{a,b}={a,b}

{φ,{a},{b},{a,b}}の積集合はφ∩{a}∩{b}∩{a,b}=φとなります

集合族をS={φ,{a},{b},{a,b}}
としたときにその和集合は
∪S=φ∪{a}∪{b}∪{a,b}={a,b}
={x|∃B∈S(x∈B)}
と書ける

お礼

回答ありがとうございます。追ってじっくり読みたいと思います。