空間図形

質問

私は大学生です。数学のレポートで空間図形の問題が解けなくて困っています。問題は直方体（縦５ｃｍ　横４ｃｍ　高さ３ｃｍ）の対角線が通過する、１辺が１ｃｍの立方体の数はいくつか？です。
私は、直方体を立方体で区切った図を書き、上から見た図、真横から見た図、正面から見た図の３パターンで、対角線がどこを通っているかというように考えているのですが。。そこから先がわかりません。
解き方がわかる方、アドバイスをお願いします！

回答No.2

debut · ベストアンサー

真上から見て対角線を引いた図Ａ（正方形２０個でできている）、
対角線を含み底面に垂直な断面(縦３cm、横√41cm）（長方形
１５個でできている）に対角線を引いた図Ｂをかきます。
図Ｂの対角線で段が変わる部分２ヶ所に相当する部分を
図Ａの対角線上に書き入れます。
あとは、図Ａで、対角線が正方形の線および書き入れた段が
変わる部分によっていくつに分けられるかを数えればいい
のではないでしょうか。

補足

debutさん回答してくださってありがとうございます！
質問なのですが。。
debutさんの解き方で答えまでたどり着くことができました。（答えは10個ですか？）
ただどうしてこのやり方で、答えが出るのかわかりません。
もしよかったら、どうして答えが出るのか、詳しい説明をしてもらえたらありがたいです。（レポートに説明を書かなくてはいけないので。。わがまま言ってすいません＞＜）

回答No.5

info22

#3です。
補足質問の回答です。

＞(左右番号、奥行き番号、段目)で立方体を指定すると
＞左右番号というのは左から順に立方体にふった数のことなんでしょうか？
＞だとしたら、奥行き番号はどこの数のことなんでしょうか？
＞重ね重ねすいませんっっ。。
＞一段目は(1,1,1),(1,2,1),(2,2,1)
＞二段目は(2,2,2),(2,3,2),(3,3,2),(3,4,2)
＞三段目は(3,4,3),(4,4,3),(4,5,3)
から分かるように
左右番号は１～４まであります。４ｃｍの辺の長さ方向へ割り振った立方体の通し番号です。
奥行き番号は１～５まであります。５ｃｍの辺の長さ方向へ割り振った立方体の通し番号です。
段目は１～３まであります。３ｃｍの辺の長さ方向へ下から上に割り振った立方体の段目の通し番号です。

これでお分かりでしょうか？

回答No.4

debut

No2です。
そう、１０個です。

私の考えは、
・上から見た図で対角線が横切っている部分の立方体は、
　必ずそこの１～３段のどれか１つの立方体を横切る。
　これだけを見れば８個です。
・段が切りかわる部分がちょうど立方体の区切りと対角線
　の交点部分であればそのまま８個でいいわけですが、
　（例えば、外形が立方体であれば段のかわり目は当然
　　１cmの立方体のかど部分とかになるとか・・）
　ところが、縦・横・高さの数字から計算か、作図で
　確かめる必要があります。

　今、書いていて気づいたのですが、断面図はいらないですね。
　段のかわり目は三角形の相似を考えれば、当然上から見た図で
　の対角線を３等分した所になりますね。
　よって、その部分に印を入れるだけでいいです。

　上から見た図の対角線を３等分する所に横線でも入れれば、
　ちょうど３段の立方体を１段ずつはがしていったような
　イメージで説明できますね。

回答No.3

info22

＞直方体を立方体で区切った図を書き、上から見た図、真横から見た図、正面
＞から見た図の３パターンで、対角線がどこを通っているかというように考え
＞ているのですが。。そこから先がわかりません。
真横から見た図は上から見た図で代用し、下から1段目、2段目、3段目を対角線が通過する立方体を数えていくだけでいいですね。
長方体の左下の頂点から左上の頂点に対角線を引くとして、上から見た図と正面から見た図に対角線を書き込んでおきます。
左下の立方体から左に、最前列から奥に向かって、下から一段目として3段目の立方体に番号付けしてその番号の組で対角線が通過する立方体を書き下ろすと(左右番号、奥行き番号、段目)で立方体を指定すると
対角線が左下から右上の頂点に通過する順に立方体をかいていくと
一段目は(1,1,1),(1,2,1),(2,2,1)
二段目は(2,2,2),(2,3,2),(3,3,2),(3,4,2)
三段目は(3,4,3),(4,4,3),(4,5,3)
となり、合計で10個となりますね。

補足

info22さん回答ありがとうございます！！
info22さんの説明のおかげで、途中までできました。
ただ私の理解力がなさすぎて1箇所解りません！！

左右番号というのは左から順に立方体にふった数のことなんでしょうか？だとしたら、奥行き番号はどこの数のことなんでしょうか？
重ね重ねすいませんっっ。。

回答No.1

age_momo

対角線をベクトルで考えると↑(5,4,3)
このk倍を考えると、それぞれの要素が整数になったときに
別の立方体に移ると考えられます。(1,4/5,3/5),(5/4,1,3/4)・・・と
いった具合です。
5、4，3は互いに素ですから計(5-1)+(4-1)+(3-1)回、別の
立方体に移ります。これに最初の立方体を加えると10個になると思います。

お礼

agemomoさん回答ありがとうございます！
じつは、この問題は小学生にもわかるように簡単な説明をするというのがレポートの趣旨なんです。。（大学が教員養成課程なので）
詳しく書かなくて申し訳ありませんでした。

でも、本当に解き方を教えてくださってありがとうございました！！