速さ・通過算の問題

質問

式の途中でつまづいています。

問
時速180km、長さ400mのA列車がある。これと平行に
時速60kmで走るB列車に追いついて追い越すまでの
時間は、対向して出会ってからすれ違うまでの時間
より8秒長い。このときB列車の長さとして最も妥当
なのはどれか。

テキストの解説
速さの単位を秒速にして
180km=50　60km=50/3

すれ違うまでの時間をt（秒）として
（50+50/3）t=（50-50/3）（t+8）

となっていました。

しかし、自分で実際に解いた時は、すれ違う時間
よりも追い越す時間のほうが8秒かかった（＝すれ
違う時間のほうが短い）わけだから、イコール関
係で結ぶためには、すれ違う時間のほうに＋８を
して、（50+50/3）（t+8）にして解く、と考えま
した。

なぜ（50-50/3）（t+8）になるのでしょうか。
よろしくお願いします。

回答No.5

noname#57316 · ベストアンサー

> すれ違いをあらわす（50+50/3）に（t+8）とすべき
> だと考えたのです。短いほうに足りない分をプラス
> すれば、やっとイコールになる、と考えました。
（50+50/3）は速度ですね。
一方、（t+8）は通過するのにかかる時間ですね。
速い方の（相対）速度、（50+50/3）で通過すれば、かかる時間は少なくてすみますね。
今の場合、バランスは、（速度）×（時間）＝（距離）でとり、
距離が等しければ、イコールで結べるのです。
速度が大きければ、時間を大きくすべきと考えるのは間違いです。

お礼

もう一度新たに自分で素直に式をたてて解いてみました。
Ｂの列車の長さを仮にａとして、

４００＋ａ＝ｔ×５０＋５０／３
４００＋ａ＝（ｔ＋８）×５０－５０／３

この状態で、素直に掛け算をして、そのまま
（５０＋５０／３）ｔ
（５０－５０／３）（ｔ＋８）

としてしまってよいということでしょうか。もしそうならば、
このことに関して言えば、大丈夫だと思います。
何度も教えていただいてありがとうございました。

回答No.8

felicior

＞短いほうに足りない分をプラス
＞すれば、やっとイコールになる、と考えました。

イコールの関係を作るというこの考え方自体は正しいと思います。
[すれ違いの時間]＋８＝[追い越しの時間]
よってこれを基に、おそらく質問者さんが立てたかった式は
次のようにするべきだったのだと思います。
[すれ違いの距離]÷[すれ違いの速さ]＋８＝[追い越しの距離]÷[追い越しの速さ]
（ANo.3で書かれているのと同じ式です）

一方、テキストの解説にあった
＞（50+50/3）t=（50-50/3）（t+8）
という式は
[すれ違いの距離]＝[追い越しの距離]
を基にして、
[すれ違いの速さ]×[すれ違いの時間]＝[追い越しの速さ]×[追い越しの時間]
という内容を表しています。

難しく考えず、
左辺にはすれ違いに関する量を、
右辺には追い越しに関する量を書く、
という観点で整理してみると間違えないのではないでしょうか。

お礼

＞よってこれを基に、おそらく質問者さんが立てたかった式は
＞次のようにするべきだったのだと思います。
＞[すれ違いの距離]÷[すれ違いの速さ]＋８＝[追い越しの距離]÷[追い越しの速さ]

自分の何がつまづきのポイントだったか、たぶん理解できた
と思います。ありがとうございました。

回答No.7

harusan731

＞すれ違うときよりも多くかかるのだから、そのままでは
＞イコールでは結べないですよね。

ですから、これは時間の式ではなく距離の式なのです。
距離＝速さ×時間
距離の式をイコールで結ぶためには、追い越し時にＢが止まっている
と考えないとイコールになりません。
（共に動いているため）

貴方のご質問は、式の意味ですよね？
通貨算の解き方、考え方など私は回答していません。

貴方は小学生ですか？
それとも講師？
講師でしたら生徒が気の毒ですね…

お礼

テキストの解説では通過算と書いてあったので、そうやって
解くものだと思っていました。あなたのはじめの解説では、
私の疑問点は解消されませんでした。大まかな解説の後に、
「分かりづらくてすいません。」と記したのは、ある程度
そのことを予測できていたからこそでた発言なのではないで
しょうか。

＞貴方は小学生ですか？
とありますが、この問題はそんなに難易度の低い問題だった
のでしょうか。（私は算数が苦手なのでそこいら辺のことも
正直よくわかりません。）

回答No.6

noname#66332

#3です。
もっと話を簡単にしましょうか。
（やはり#5さんの言う通り、国語の問題のようです）

仮に、すれ違う時間の方を「8秒」だとしましょう。
すれ違う場合には両者の速度が合計（＝240km/h）されますから、こちらの方が
かかる時間は短くてすむわけですよね。

さて、追い越しにこれより8秒長くかかる（相対速度は180-60＝120km/hですからね）とすれば、
追い越しの方にかかる時間は16秒ですよね？

距離 ＝ 早さ × 時間　です。
すれ違う場合も追い越す場合も、両者が走らなければいけない距離は同じですから

（240km/h × 8秒 の距離）＝（120km/h × 16秒 の距離）

になるのはご理解頂けますよね‥‥？　^^;

そして、この場合のすれ違う時間（8秒）を　t秒　とすると、
右辺は‥‥‥‥？

お礼

またの書き込みをありがとうございます。

＞（＝240km/h）
は、５０＋５０／３で、

＞180-60＝120km/h
は、５０－５０／３ということですよね。

今回のご説明はたぶん大丈夫だと思います。しかし、これを
イコール関係で結んでよいのだ、ということに自力で気づく
のはたいへん困難なことだ、という風に思いました（なぜな
ら問題文を見る限り、追い越す時間のほうが長いということ
になっているので）。

似たような問題が出題されたときに、自力でちゃんと解ける
自信が持てませんが、何度も復習してみようと思います。

回答No.4

noname#57316

間違いは、数学の問題ではなく、国語の問題にあるようですね。

「追い越すまでの時間は、対向して出会ってから
すれ違うまでの時間より8秒長い」
＝「追い越すまでの時間は、長い
　　対向して出会ってからすれ違うまでの時間より 8秒」

　　「すれ違う時間＞追い越す時間」ではないのです。

問題の意味を正確に読み取ると、間違いが分かるでしょう。

お礼

またの書き込み、ありがとうございます。

＞「すれ違う時間＞追い越す時間」ではないのです。

すみません、間違えて書いてしまいました・・・。
他のコメント欄や質問文に「すれ違うときよりも多く
かかる」、「＝すれ違う時間のほうが短い」と書きま
した通り、

＞＝「追い越すまでの時間は、長い
＞対向して出会ってからすれ違うまでの時間より 8秒」

というのは理解できています。しかし、だからこそ、
すれ違いをあらわす（50+50/3）に（t+8）とすべき
だと考えたのです。短いほうに足りない分をプラス
すれば、やっとイコールになる、と考えました。

なのに、どうして追い越しをあらわす（50-50/3）に
（t+8）となるのかがわからないんです（;_;）。

回答No.3

noname#57316

速さの比は、
（50+50/3）/（50-50/3）
従って、一定の長さを通過するのに要する時間は、
それぞれの速さの逆比（速ければかかる時間が短いので、
速さの比にするには、時間の比を逆にする）で、
（t+8）/ t
故に、
（50+50/3）/（50-50/3）＝（t+8）/ t
これから、
（50+50/3）t=（50-50/3）（t+8）

左辺、右辺とも、通過する列車の長さを表わしています。
当然、列車の長さは同じですので、イコールで結べます。

お礼

回答ありがとうございます。

私の頭の中のイメージは、
「追い越すまでの時間は、対向して出会ってから
すれ違うまでの時間より8秒長い」、という問題文
から、

すれ違う時間＞追い越す時間
↓（速さの視点からみても、）
（50+50/3）t＞(50-50/3）t
↓（よって、イコールで結ぶためには）
（50+50/3）t＋8＝（50-50/3）t

と考えました。「速さの比にするには」という説明が
ありますが、テキストでは比を使った解き方は使って
いません。

回答No.2

noname#66332

ちょっと混乱してるみたいですね。
すれ違いの方にt秒かかる、と仮定したら
当然追い越しの方がよけいに時間がかかりますよね。

240kmでt秒かかる距離　＝　120kmで（t+8）秒かかる距離

なわけです。

＞ 自分で実際に解いた時は、すれ違う時間よりも追い越す
＞ 時間のほうが8秒かかった（以下略）

質問者様のこの文は、「時間」に着目していますので、
これで式を作るとしたら

（x+400）mを240kmで走るのにかかる時間 ＋ 8秒
　　＝ （x+400）mを120kmで走るのにかかる時間

と書かなければいけませんね。

お礼

回答ありがとうございます。

＞（x+400）mを240kmで走るのにかかる時間 ＋ 8秒
＞　＝ （x+400）mを120kmで走るのにかかる時間
＞と書かなければいけませんね。

これはわかります。しかし、すれ違うときよりも多く
かかるのだから、そのままではイコールでは結べない
ですよね。だから、同様に、すれちがいをあらわす
（50+50/3）に（t+8）とすべきではないのか、という
のが私の疑問点です。

なぜ（50+50/3）（t+8）がダメで、なぜ（50-50/3）
（t+8）が正しいのかがわからないのです。

回答No.1

harusan731

（50+50/3）t=（50-50/3）（t+8）

これは列車Aの
すれ違い時、追い越し時の走行距離ですね。
ともに「列車Aの長さ+列車Bの長さ」になります。
追い越し時は、列車Bが停止してるとして相対速度で考えると分かりやすいです。

右辺、左辺とも「速さ×時間」ですので
「50-50/3」は追い越し時の相対速度
「ｔ+8」はすれ違うときよりも8秒多くかかる（時間）
となります。

分かりづらくてすいません。
つまり「追い越し時は列車Bが停止してるとして相対速度で考える」
事がポイントです。

お礼

回答ありがとうございます。

＞「50-50/3」は追い越し時の相対速度
＞「ｔ+8」はすれ違うときよりも8秒多くかかる（時間）

すれ違うときよりも多くかかるのだから、そのままでは
イコールでは結べないですよね。だから、すれちがう時
間をあらわす（50+50/3）に（t+8）とすべきではないの
か、というのが私の疑問点です。

通過算について学んだとき、追い越し時は停止して考え
る、という考え方は教わっていませんので、正直よく
わかりません。