部分列の収束性

質問

こんばんは。「数列があって、それの収束する任意の部分列が同じ極限に収束するならば、その数列自身がその極限に収束する。ということを証明せよという問題です。

もしその数列がコーシー列であればその部分列がそのコーシー列と同じ値に収束するというのは証明したのですが、この問題では数列があってとだけ言ってます。コーシー列ならば、εーN法で行けるのですが、この場合どうやって証明すればいいのでしょうか？どなたか分かる方、証明宜しくお願いします。

回答No.1

kabaokaba · ベストアンサー

反例
an = n (nが偶数)
an = 1 (nが奇数)
つまり
1 2 1 4 1 6 1 8 ...
という数列．
収束する部分列は ...,1,1,1, .... のみでこれは1に収束．
けどもとの数列は収束しない．

問題が
「それの収束する任意の部分列が同じ極限に収束するならば」
ではなくて
「それの任意の部分列が同じ極限に収束するならば」かな

こうだと仮定すると「収束しない」の定義を利用して
「同じ極限に収束しない部分列」を構成できるので
証明できます．
＃「収束しない」をεNで書けますか？

=========
コーシー列ならば収束する（実数の完備性）ので
コーシー列であると仮定した段階で，収束することを
仮定しているので，示すものが「逆」になっています．
収束する数列の部分列は収束するのです．

お礼

返事遅れてすいません。結局反例を作って収束しないことを証明しました。どうもありがとうございました。

回答No.3

koko_u_

>問題が
>「それの収束する任意の部分列が同じ極限に収束するならば」
>ではなくて
>「それの任意の部分列が同じ極限に収束するならば」かな

や。それだと {a_n} 自身が {a_n} の部分列だから
意味のない命題になってしまうと思うよ。

回答No.2

ninigi

Ｎｏ１氏の言うように無条件では成り立ちませんね。
数列に「有界である」とか条件はついてませんか？

もし有界であるという条件がつくのなら、この数列は集積点をひとつしか持たない事から収束する事が示せます。