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コーシー列

あるサイトでコーシー列であることと数列が収束するということは必要十分条件であるとあったのですが、ということは数列が収束するならばコーシー列であり、コーシー列ならば収束するということですか？つまりはコーシー列であることと数列が収束することは同じであるということになるのでしょうか？

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回答No.1

考えている集合によりますが「収束列ならばコーシー列」というのは常に正しいです。ただ逆は常には正しくはありません。たとえば有理数全体を例にとれば√２（これは有理数の集合には属さないことに注意してください）に収束する有理数の列が取れるわけですが、実数全体の集合における点列とみたときそれは収束列（√２が収束先）なのでコーシー列で有理数全体の中の列としてみても当然コーシー列です。しかしその収束先は√２で有理数の集合からはみ出しています。これは有理数の集合における点列とみたときには収束列ではないということです。このように収束列という概念はどの集合における点列とみているかによって異なってくるということが分かります。ちなみにある集合がその元からなるコーシー列が常に（その集合のある元に）収束するという条件を持った集合を完備であると言います。そのような集合の典型的なものは実数全体、整数全体などです。

その他の回答 (1)

回答No.2

ちなみに、√２に収束する有理数の列としては、こういうのがあります。 a(1) = 2 a(n + 1) = (a(n) + 2/a(n))/2 すべての項は有理数ですが、有理数に収束先はありません。

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