コーシー列についての問を教えてください

質問

問　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　数列{ａｎ}が、コーシー列ならば、数列{ａｎ}が収束することを示せ。(※有界な実数列は常に収束する部分列をもつことを用いていい)

回答No.1

muturajcp · ベストアンサー

(1)実数を有理数のコーシー列の同値類として定義する
N=(全自然数)
Q=(全有理数)
Q^N=(有理数列)
有理数の全コーシー列の集合を
Qc={a∈Q^N|∀ε∈Q,ε>0→∃n_0∈N({∀m,n>n_0}⊂N→|a_m-a_n|<ε)}
とする
{a,b}∈Qcに対して
∀ε∈Q,ε>0→∃n_0∈N(∀n∈N,n>n_0→|a_n-b_n|<ε)
のとき
a～bとすると
～はQcの要素の同値関係となる(証略)
Qcの同値類の集合を全実数の集合
R=Qc/～
として[実数]を定義する
{A,B}⊂Rに対して
A+B={{a_n+b_n}_{n∈N}|a∈A,b∈B}
と和(+)を定義できる(証略)
[{0}]が加法単位元となる(証略)
[{-a_n}_{n∈N}]=-[{a_n}_{n∈N}]となる(証略)
A*B={{a_n*b_n}_{n∈N}|a∈A,b∈B}
と積(*)を定義できる(証略)
{A,B}⊂Rに対して
a∈A,b∈B
∀ε∈Q,ε>0→∃n_0∈N(∀n∈N,n>n_0→a_n<b_n+ε)
となるとき
a≦b
と順序≦を定義し、このとき
A≦B
と順序≦を定義できる(証略)
A≦BでないときB≦Aだから≦は全順序となる(証略)
B≦Aのとき
A≧Bと順序≧を定義する
A≦B&A≠BのときA<B
A≧B&A≠BのときA>B
と定義する
A∈Rに対して
|A|=max(A,-A)
と絶対値を定義する
a∈Q,と,[{a}]∈Rを同一視してQ⊂Rとする
(R,+,*,≦)は全順序体となる(証略)

(2)有理数のコーシー列はその属する同値類[実数]に収束する事を示す
∀{a,b}⊂A∈Rに対して
∀ε∈Q,ε>0→∃n_0∈N
∀n∈N,∀m∈N,min(m,n)>n_0
→|a_n-b_m|≦|a_n-b_n|+|b_n-b_m|<ε
→|a_n-A|<ε
→lim_{n→∞}a_n=A

(3)任意の2つの[実数]A<Bに対してA<c<Bとなる有理数cが存在する稠密性を示す
∀{A<B}⊂R,に対して
a∈A,b∈Bとするとa～bでないから
∃d∈Q,d>0,∀n∈N→∃n1>n,|a_n1-b_n1|≧d
a≦bだから
→∃n_0∈N(∀n>n_0→a_n<b_n+d/4)
∀m,n>n_0→|a_m-a_n|<d/4
→|b_m-b_n|<d/4
→∃n1>n_0→a_n1<b_n1+d/4
b_n1+d≦a_n1を仮定すると
a_n1<b_n1+d/4<b_n1+d≦a_n1となって矛盾するから
→d≦b_n1-a_n1
|a_m-a_n1|<d/4
|b_m-b_n1|<d/4
c=a_n1+d/2とすると
a_m<a_n1+d/4<c≦b_n1-d/2<b_n1-d/4<b_m
だから
A<[{c}]<B,c∈Qが存在する

(4)実数のコーシー列は収束する事を示す。
{A_n}を実数のコーシー列とする
∀ε>0→∃n_0∈N(∀m,n>n_0→|A_m-A_n|<ε/2)…(5)
∃n1∈N,∀m>n1に対してA_m=A_n1のときA_n1に収束する
∀n∈Nに対して∃m>n,A_m≠A_nのとき
{A_n}の適当な部分列をとって
∀n∈Nに対してA_{n+1}≠A_nとできる
(3)から
A_n<A_{n+1}のときA_n<c_n<A_{n+1}…(6)
A_n>A_{n+1}のときA_n>c_n>A_{n+1}…(7)
となる
有理数c_n∈Qが存在する
∀ε>0→∃n_0∈N
∀m,n>n_0
↓(5),(6),(7)から
|c_m-c_n|<max_{m≦j≦m+1,n≦k≦n+1}|A_j-A_k|<ε
だからcは有理数のコーシー列となるから
[c]∈Qc/～=R
(2)から
∀ε>0→∃n_2∈N(∀n>n_2→|c_n-[c]|<ε/2)…(8)
↓
∃n_3=max(n_0,n_2)
∀n>n_3
↓(5),(6),(7),(8)から
|A_n-[c]|≦|A_n-c_n|+|c_n-[c]|≦|A_{n+1}-A_n|+|c_n-[c]|<ε
↓
lim_{n→∞}A_n=[c]
∴実数のコーシー列{A_n}は収束する