次元定理と直和に関する定理の証明における表現について
- 工学部情報系の学科所属の大学3年生が線形代数を自学しています。
- 次元定理と直和に関する定理の証明に理解できない表現があります。
- 証明の途中での表現について疑問があり、特に「したがって両辺ともに∈Ｗ_1∩Ｗ_2」について理解できません。なぜそのように言えるのでしょうか？
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次元定理、直和に関する定理の証明にある表現
工学部情報系の学科所属の大学3年生の者です。 線形代数を自学しているのですが、 次元定理、直和に関する定理の証明に私が理解できない表現が あります。 定理（直和） (1)Ｗ＝Ｗ_1＋Ｗ_2 の元は u = u' + u"、u'∈Ｗ_1、u"∈Ｗ_2 の形に一意的に表わされる。 (2) dim(Ｗ_1＋Ｗ_2)＝ dim Ｗ_1 + dim Ｗ_2 (3) Ｗ_1∩Ｗ_2＝｛o｝ (零ベクトル) 証明（一部分） (3)⇒(1)：u∈Ｗ に対して2通りの表示 u = u' + u" = v' + v"、 u' , v'∈Ｗ_1、 u" , v"∈Ｗ_2 があったとすれば、 u'－v' ＝ v"－ u" この等式の左辺は∈Ｗ_1、右辺は∈Ｗ_2、 したがって両辺ともに∈Ｗ_1∩Ｗ_2 証明の最後から2行目「この等式の左辺は∈Ｗ_1、右辺は∈Ｗ_2、」 は分るのですが、 それに続く「したがって両辺ともに∈Ｗ_1∩Ｗ_2」がよく理解でき ません。 なぜ、そのように言えるのでしょうか？ 長文で申し訳ないです。
- ume-kun
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定理の内容がやや不明確ですが、(1)～(3)が同値であることを 言明しているのですね。 >それに続く「したがって両辺ともに∈Ｗ_1∩Ｗ_2」がよく理解でき 単純に、w = u' - v' = v'' - u'' なる元を考えれば、 w ∈ W_1 かつ w ∈ W_2 だから w ∈ W_1 ∩ W_2 = {0} ということ。
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