- 締切済み
曲線のパラメータ付けの問題
γ：［a,b］→Ｒ^2を閉曲線Γのパラメータ付けとするとき 任意の曲線Γが弧長によりパラメータ付けされる事をどのように証明すればよいのかが分かりません。 あるηを任意のパラメータ付けとして、h(s)=∫｜η'(t)｜dtとおき、 γ=η（h^(-1)）を考えてみようかと考えてみたのですが良く分かりませんでした。 この証明のお分かりになる方の解答をお待ちしております。
- dio_ti_ama
- お礼率61% (16/26)
- 数学・算数
- 回答数1
- ありがとう数1
- みんなの回答 （1）
- 専門家の回答
みんなの回答
関連するQ&A
- 弧長パラメータとは何？
弧長パラメータは、長さ関数の逆関数によってパラメータ変換することによって得られるそうですが、何故そうやって求められるのでしょうか？そもそも、弧長パラメータの概念が今一つ分からないです。 例えば、 x(t)=(asint,acost,bt) の曲線があるとして、 これの長さ関数は x'(t)=(acost,-bsint,0)より int(0,t)||(x'(t))||dt =int(0,t)sqrt(a^2+b^2)dt =sqrt(a^2+b^2)t より、t=x/sqrt(a^2+b^2) ですから、x(t)の弧長パラメータ表示関数は、 x(s)=(asin(a/sqrt(a^2+b^2)),acos(s/sqrt(a^2+b^2)), bs/sqrt(a^2+b^2)) となると解釈して宜しいのでしょうか？ 分かる方がいましたら、回答宜しくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 空間曲線
一般の媒介変数t を用いて, (t) と表される滑らかな空間曲線がある. 曲線上のt = 0 の点から, 媒介変数の値がt となる点までの弧長をs(t) とする. この曲線を弧長パラメータで表したとき, 曲線の単位接ベクトルe, 主法線ベクトルn, および従法線ベクトルb は, プライム( ′ ) をs 微分として, 次式で与えられる e =a' n = e'|e'| b = e ×n . また, 曲線の曲率κ と捩率τ は, それぞれκ = |e'| , τ = -b' n で与えられる. (d/dt)s(t) =|(d/dt)a(t)|を図を用いて説明し, e(t) = (d/dt)a(t)/|(d/dt)a(t)|を示せ. なぜ、e =a' で、e(t) = (d/dt)a(t)/|(d/dt)a(t)| となるのですか？ e≠e(t)なんですか？ この問題の答えと詳しい解説をお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 平面曲線の媒介変数表示, 曲率
xy 面上の曲線C: ζ(t) =(x(t) , y(t))=(R(t － sin t) , R(1 － cos t)) (0 ≤ t ≤ 2π) を考える。 弧長パラメータs をもちいた曲率の定義に従い, サイクロイドC の曲率κ(s) を求めよ。 弧長をs(t)とする。 s(t)=∫[0,2π} √{（dx/dt)^2+(dy/dt)^2}dt =R√2∫[0,2π]√(1-cost)dt =8R s(t)=-4Rcos(t/2) t(s)=2arccos(-s/4R) κ=√{(d^2x/ds^2)^2 + (d^2y/ds^2)^2} ここまでできたのですが、ここから先がわかりません。 （途中計算は長くなるので一部省略しました。） 途中式も含めて、詳しい解説お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 平面曲線の媒介変数表示, 曲率
xy 面上の曲線C: ζ(t) =(x(t) , y(t))=(R(t － sin t) , R(1 － cos t)) (0 ≤ t ≤ 2π) を考える. (1) 曲線C はサイクロイドと呼ばれる. 媒介変数t の幾何的意味を明らかにしつつ, 曲線C を図示せよ. (2) 原点O から媒介変数の値がt となる点までの弧長s(t) を求めよ. (3) 弧長s(t) の逆関数t(s) を求め, サイクロイドC を弧長s で媒介変数表示せよ. (4) 弧長パラメータs をもちいた曲率の定義に従い, サイクロイドC の曲率κ(s) を求めよ. (5) 弧長パラメータを経由することなく, もとの媒介変数t で曲線C の曲率を求め, それが前小問の結果と一致することを確かめよ. 教えてください。
- 締切済み
- 数学・算数
- 積分の問題（曲線の長さ）です。
『曲線 y=x^2/2 (0≦x≦1) の長さを求めよ。』という問題です。 以下のように解いてみました。 曲線の長さをSとすると， S=∫√｛1+(dy/dx)^2｝dxなので， S=∫[0→1]√(1+x^2)dx x=tanθと置くと， S=∫[0→π/4](1/cos^3θ)dθ=∫[0→π/4]｛1/(1-sin^2θ)cosθ｝dθ さらにt=sinθと置くと， S=∫[0→1/√2]1/(1-t^2)^2dt=∫[0→1/√2]1/(1-t)^2・(1+t)^2dt =∫[0→1/√2]{1/2(1-t)^2+1/2(1+t)^2}dt=[1/2(1-t)-1/2(1+t)][0→1/√2] =√2 となったんですが添削をお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ベクトル解析で分からない問題だらけで困っています(
ベクトル解析で分からない問題だらけで困っています(~_~;) 1. A↑＝A↑(t)とB↑＝B(t)↑でA↑とB↑が平行で、かつdA↑/dtとB↑が平行であるならばA↑とdB↑/dtも平行であることを示せ。 (略解) A↑×B↑＝0の両辺をtで微分せよ。 2. 曲線R1＝costi+sintj+3t^2k(t>0)の接線とR2＝θj+θ^2kの接線の方向が一致するとき、tとθの値を求めよ。 (i.j.kは基本ベクトル) 答え t＝nπ、θ＝(－1)^n ×3nπ nは正の整数 3.サイクロイド曲線R(θ)＝a(θ－sinθ)i +a(1－cosθ)jの(0<θ<2p)のとき、曲線の長さsをθの関数として表せ。 またこの曲線の単位接戦ベクトルt↑と主法線ベクトルn↑を求めよ。 答え n↑＝cosθ/2 i －sinθ/2 j (単位接線ベクトルの解答はありませんでした) の3問です。 できれば詳しい解答を望みますが、解くための考え方などを教えていただけるのもとてもありがたいのでよろしくお願いしますm(_ _)m
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 高校数学の、曲線の長さがわかりません。
x = f(t) ， y = g(t) という媒介変数の曲線について、 t = a から t = t までの道のりを s(t) と表すことにすると、 三平方の定理を dt で割れば、 s'(t) = √{ f'(t)^2 + g'(t)^2 } となることまでは何となく分かったんですが… そうすると、 s(b) =∫√{ f'(t)^2 + g'(t)^2 } dt （範囲はa→b） となる、という部分が、ピンときません。 なんで s の中は b になるのに、 積分の中は t のままなのかとか、 いろいろ考えていたら、分からなくなってしまいました。 どう考えればいいのでしょうか？
- 締切済み
- 数学・算数
