曲線の問題です。

質問

xy-平面における曲線をf(x)とする。
x軸上の任意の2点a,b（｜b-a｜=1）をとったとき、
(f(b)-f(a))^2が最小⇔線分のとき
を証明するという問題です。
どうかよろしくお願いします。

回答No.3

noname#101087

>xy-平面における曲線をf(x)とする。
>x軸上の任意の2点a,b（｜b-a｜=1）をとったとき、(f(b)-f(a))^2が最小⇔線分のとき　を証明するという問題です。

題意がいまいち判然としないけど。

どうやら「f(*) を求めよ」らしい。
それなら、変分問題です。
　　　↓　参考
　http://www12.plala.or.jp/ksp/mathInPhys/variations2/#id5
>変分法2 // 1.[直線距離]

f(x) が所与で「(f(b)-f(a))^2 が最小」を探せ、なら別問題。

さて、どっち？

回答No.2

noname#95312

点A(a,f(a))と点B(b,f(b))を結ぶ線が、直線でないとすると、
f(x)は、この線分上にない点（これをC点とする）を通る。

このとき、
(f(b)-f(a))^2=({f(b)-f(c)}+{f(c)-f(a)})^2
=({f(b)-f(c)}^2+{f(c)-f(a)}^2+2・{f(b)-f(c)}・{f(c)-f(a)}

f(b)≧f(c)≧f(a)　であるとしても一般性は失われない。すると、
(f(b)-f(a))^2 は、f(b)-f(c)=0、または f(c)-f(a)=0 の時に最小。
つまり、点Cが点A、あるいは点Bと一致する時で、ABが直線のときに最小となる。

回答No.1

spring135

>(f(b)-f(a))^2が最小⇔線分のとき
>を証明するという問題です。

意味不明です。