曲率に関する問題です。

質問

以下の問題がわかりません。どなたか解き方だけでも教えてください。
「を原点とするx-y 平面上の曲線 C について、C 上の点 P におけるCの接線が x 軸の正の方向と反時計回りになす角をθとし、点Pにおける曲線Cの曲率をκとする。
　κ=1/θを満たす曲線Cについて、以下の問いに答えよ。ただし、0<θ<πとし、曲線C上の点Pはθ→0で、ある点Aに近づき、その点Aの座標を(1,0)と定める。また、点AからCに沿って測った曲線C上の任意の点までの距離をsとすると、曲率κは dθ/ds で表される。

(1) 曲線 C 上の任意の点Pのx座標およびy座標をθを用いて表せ。 (微分方程式になります)
(2) 曲線C上の点Pから法線Lを引く。
(a)Lは単位円と接することを示せ
(b)Lと単位円との接点をQとする。線分PQの長さは、点Aから反時計回りに測った円弧AQの長さ　　に等しいことを示せ。
(3) 線分 OA, 曲線C, 直線 y=1 および y軸で囲まれた部分の面積を求めよ。」

回答No.1

yyssaa · ベストアンサー

(1)について回答します。(2)(3)は二次方程式の重根や定積分を使う、
よくある問題です。
(1) 曲線 C 上の任意の点Pのx座標およびy座標をθを用いて表せ。 (微分方程式になります)
＞κ=dθ/ds=1/(ds/dθ)=1/θだからds/dθ=θ、三平方の定理により
(△s)^2=(△x)^2+(△y)^2、(△s/△x)^2=1+(△y/△x)^2
△x→0として(ds/dx)^2=(dy/dx)^2+1、ここでdy/dx=tanθ、
ds/dx=(ds/dθ)(dθ/dx)=θ(dθ/dx)だから
θ^2(dθ/dx)^2=tan^2θ+1、dx/dθ=1/(dθ/dx)=θ/√(tan^2θ+1)
=θ/√{(sin^2θ/cos^2θ)+1}=θ/√(1/cos^2θ)=θcosθ
x=∫θcosθdθ=∫θ(sinθ)'dθ=θsinθ-∫sinθdθ
=θsinθ+cosθ+C(定数)
θ=0でx=1だからC=0となり、x=θsinθ+cosθ、
dy/dx=(dy/dθ)(dθ/dx)=tanθからdy/dθ=tanθ/(dθ/dx)=tanθ(dx/dθ)
dx/dθ=sinθ+θcosθ-sinθ=θcosθだから
dy/dθ=tanθ*θcosθ=θsinθ、y=∫θsinθdθ=∫θ(-cosθ)'dθ
=-θcosθ+∫cosθ=-θcosθ+sinθ+CC(定数)
θ=0でy=0だからCC=0で、y=-θcosθ+sinθ
よって、x=θsinθ+cosθ、y=-θcosθ+sinθ・・・答

お礼

丁寧な回答ありがとうございました。