数学の問題です。

質問

3曲線C1：y=f(x)、C2：y=x^2、C3：(1/2)x^2のグラフが図のようになっている。曲線C2の上の点Pにおいて、y軸に平行な直線を引き、C3との交点をQ、Pにおいてx軸に平行な直線を引き、C1との交点をRとする。曲線C1、C2、線分PRの囲む図形の面積をS1、曲線C2、C3、線分PQの囲む図形の面積をS2とする。

(1)点Pの座標を(u,u^2)、点Rの座標を(v,f(v))とおいたとき、面積S1を定積分を含むuとvの式で表せ。

(2)点Pが曲線C2の上を動くとき、つねにS1=S2が成立する。このとき、関数f(x)を決定せよ。

(1)はS1=∫[0,v]f(x)dx+(2/3)u^3+vu^2になりました。

(2)でS2を計算するとS2=(1/6)u^3になってS1=S2で計算しましたがf(x)まで持っていけません。

詳しく解説していただけないでしょうか。

よろしくお願いします。

回答No.1

hrsmmhr · ベストアンサー

(1)が少し違ってて
S1=∫[0,v]f(x)dx+(u-v)u^2-1/3u^3=∫[0,v]f(x)dx+2/3u^3-vu^2
(2)は
S2=1/6u^3で
=∫[0,v]f(x)dx+2/3u^3-vu^2
とおいて
∫[0,v]f(x)dx=vu^2-1/2u^3
ここでf(v)=u^2より（(v,f(v))は(u,u^2)からx軸に平行な直線との交点であるから）
∫[0,v]f(x)dx=vf(v)-1/2f(v)^(3/2)
両辺vで微分
f(v)=f(v)+vf'(v)-3/4f'(v)f(v)^(1/2)
f'(v){v-3/4f(v)^(1/2)}=0
よってf'(v)=0もしくはf(v)=16/9v^2
f'(v)=0ではC1とx軸に平行な交点が任意に決められることにより解として出てきている
これは題意を満たさない（と普通には思います）
よってf(x)=16/9x^2