立体図形

質問

yz空間に３点A(1,0,0)、B(0,1,0)、C(0,0,1/√2)がある。
いま、ｘ≧０、ｙ≧０、ｚ≧０の部分に曲面Dがあり、Dとxy平面、yz平面、ｚｘ平面との交線はそれぞれ線分AB,BC,CAである。
また、線分ABに垂直に交わる任意の平面πとDとの交線は、
π上にｘｙ平面との交線上にX軸、ｚｘまたはｙｚ平面との交線上にY軸をとるXY平面を設定すると、
曲線XY＝１（X>0,Y>0）を平行移動させたものの一部になる。
このとき、Dとxy平面、yz平面、zx平面で囲まれた部分の体積を求めよ。

設定が難しくて、イメージがつかめません。
解答をなくしてしまったようで、どなたか解説お願いします。

回答No.3

aquarius_hiro · ベストアンサー

こんにちは。

> 設定が難しくて、イメージがつかめません。

確かにややこしいです(笑)

しかし、がんばって図を描いて理解してもらうしかないです。
ここでは図を書けないので。

次の説明に沿ってやってみてください。

[立体図形の説明]

まずxyz軸を描いて、次に三角形ABCは図に描けますよね？
ちょっと幾何学を考えると原点Oと線分ABの中点Mの距離は1/√2になりますね。
OC=1/√2ですから、三角形OCMは45°の直角二等辺三角形になります。…(1)

問題の曲面Dは、その三角形に張られた、膜か何かを想定してください。ゴムか何かでできていて、曲面になります。

その膜の膨れ具合、凹み具合を決めるのが平面πと曲面Dの交線の記述です。

上のxyz空間の絵に、ABに垂直な平面πを描き込んでください。
平面πと xy平面との交線が X軸です。
平面πの位置によって、yz平面とxz平面のどちらかと交わっているはずです。
いま仮に、yz平面と交わるように平面πをとっておきます。
その交線をY軸にします。

平面π上に XY = 1、つまり Y = 1/X という双曲線を描いてください。
X>0, Y>0 の領域だけに描けばよいです。

これを平行移動させて、線分AB、BCにくっつけたものが曲面Dの断面です。

[断面の説明と断面積の計算]

平面πは斜めだと考えにくいので、紙の別のところに、XY平面、すなわち平面πを描いてください。

X軸上に線分AB上の点Pと、Y軸上に線分CB上の点Qをプロットできます。

PB = p とおきますと、PのX座標は X=p になります。
また、QのY座標はやはり Y=p になります。（(1)参照。）

それに再び Y = 1/X を描いてください。

その曲線を点Pと点Qを通るように平行移動します。
平行移動させた曲線をD'と呼ぶことにします。

X軸とY軸の交点をO'とおくと、線分O'P、線分O'Q と、曲線D'で囲まれた領域が、問題の体積の断面になります。

曲線の平行移動は、X → X+a、Y → Y+b と置換えて実現できます。
X>0, Y>0 の領域の曲線を負の方向に移動させるので、a>0, b>0 です。

すなわち、曲線D'は (X + a)(Y + b) = 1 です。

これが、(X,Y) = (0,p), (p,0) を満たすので、

(p+a)b = a(p+b) = 1 … (2)

故に、(a-b)p=0
故に、a=b … (3)
故に、a^2 + ap - 1 = 0
a = (1/2)[ - p + √(p^2 + 4) ]
複号+のほうをとりました。（a>0より）

従って、曲線D'は、Y = - a + 1/(X+a) となるわけですが、

これを積分すると、問題の体積の断面 S_p になります。

S_p = ∫_0^p Y dX = ∫_0^p [ - a + 1/(X+a) ] dX
　　= - ap + [log|X+a|]_0^p = - ap + log|(p+a)/a|

ところで、(2),(3) より、p+a = 1/a なので、

S_p = - ap - 2 log a

が得られます。

[体積の計算]

この S_p を 0 ≦ p ≦ 1/√2 の範囲（点Bと点Mの間の領域）で積分し、二倍すると目的の体積 V です。

V = 2 ∫_0^{1/√2} S_p dp

この積分は、p = 2 sinh(t) と置き換えるとわかりやすいです。

a = (1/2) [ - 2 sinh(t) + 2 cosh(t) ] = e^{-t} になるので、

log(a) = -t になります

S_p = - ap - 2 log a
　　= - 2 e^{-t} sinh(t) + 2 t

dp = 2 cosh(t) dt

p=0 で t=0
p=1/√2 で sinh(t) = 1/(2√2) この t を t_0 とおきます。

V = 2 ∫_0^{t_0} (- 2 e^{-t} sinh(t) + 2t ) 2 cosh(t) dt
　= 8 [ - ∫_0^{t_0} e^{-t} sinh(t) cosh(t) dt
　　　　+ ∫_0^{t_0} t cosh(t) dt ]
　= 8 [ ∫_0^{t_0} sinh^2(t) cosh(t) dt
　　　　- ∫_0^{t_0} cosh^2(t) sinh(t) dt
　　　　+ ∫_0^{t_0} t cosh(t) dt ]
　= 8 [ (1/3) sinh^3(t) - (1/3) cosh^3(t)
　　　　+ t sinh(t) - cosh(t) ]_0^{t_0}
　= 8 [ (1/3) sinh^3(t_0) - (1/3) cosh^3(t_0)
　　　　+ t_0 sinh(t_0) - cosh(t_0) + (1/3) + 1 ]

ところで、sinh(t_0) = 1/(2√2) より、

cosh(t_0) = √[ 1 + sinh^2(t_0) ] = √[ 1 + 1/8 ] = 3/(2√2)

e^{-t_0} = cosh(t_0) - sinh(t_0) = 3/(2√2) - 1/(2√2) = 1/√2 より

t_0 = (1/2) log 2

なので、これらを使って計算してまとめると、

V = (64-49 √2) /6 + √2 log2

が得られます。（単純ですが結構面倒な計算です。）

電卓で計算してみると、

V = 0.114941…

となります。

一方、三角形ABCとxy,yz,zx平面で囲まれた体積は、

Sh/3 = (1/2)(1/√2)/3 = 0.117851…

になるので、それよりわずかに小さい上のVの値は、そんなにへんな値ではなさそうです。

計算ミスがない自信はあまりありません。

お礼

大変丁寧な説明ありがとうございます。
おかげで、ちゃんとイメージつかめました。
積分の計算が非常にめんどくさいですね。
その部分の説明もわかりやすかったです。

回答No.2

banakona

イメージできました（たぶん）。

Ｚ軸（大文字です）を直線ＡＢ上にとり、点ＡでＺ＝０、点ＢでＺ＝√２とします。
体積を求める立体をＶとし、これをＺ＝ｋでＺ軸と直交する平面πで切断すると、その断面は次のようになります。
　　双曲線ＸＹ＝１、直線Ｙ＝２／（ｋ＋√（ｋ^2＋４））、直線Ｘ＝２／（ｋ＋√（ｋ^2＋４））で囲まれた図形

イメージとしては、まずｋ＝1/√２とした時の断面が、ＸＹ＝１、Ｘ＝1/√２、Ｙ＝1/√２で囲まれた形（斜辺が凹んだ直角２等辺三角形のような形）になります。これをベースとします。

一般化してＺ＝ｋでＶを切断すると、等しい２辺の長さがｋになるように、ベースの底辺を上へスライドし、高さを成す辺を右へスライドさせた物になります。（２／（ｋ＋√（ｋ^2＋４））は、この条件に基づいて導出したものです）

この断面の面積は、∫[２／（ｋ＋√（ｋ^2＋４））→（ｋ＋√（ｋ^2＋４））／２]（１／Ｘ）ｄＸ－（１－（ｋ＋√（ｋ^2＋４））／２）^2）＝２LN（ｋ＋√（ｋ^2＋４））／２）－（１－（ｋ＋√（ｋ^2＋４））／２）^2

となるようです（計算違いがあったらごめんなさい）。

求める体積は、ＶがＺ＝1/√２に関して対称なので、２LN（ｋ＋√（ｋ^2＋４））／２）－（１－（ｋ＋√（ｋ^2＋４））／２）^2
を、ｋ＝０からｋ＝1/√２まで積分して２倍すれば出てきます。

後は積分の得意な人に任せます。

お礼

イメージつかめました。本当にありがとうございます。
すぐ回答していただいたのに、お礼遅くなり申し訳ありません。

回答No.1

koko_u_

はっきりしているのは、文字だけしか書けないこのサイトで
tomochan1017 さんにイメージを伝達することは不可能だということです。

ノートにむかって tomochan1017 さん自身が絵を書くしかイメージを捉える方法はありません。