ピタゴラスの定理の別の解釈

質問

xy座標をもつ平面にある線分があったとします。
長さや位置は分かりませんが、x軸・y軸へ射影した長さや位置は分かっているとします。
そのとき、もとの線分の長さや位置を求めるにはどうしたらよいでしょうか？
これは、ピタゴラスの定理で長さが求められます。
また、位置は2通りもとめられると思います。

では、次元を拡張するとどうなるのでしょうか？
いろいろな拡張があるかもしれませんがたとえば、、、。

xyz座標をもつ空間にある三角形があったとします。
面積や位置は分かりませんが、xy平面・yz平面・zx平面へ射影した面積や位置は分かっているとします。
そのとき、もとの三角形の面積や位置を求めるにはどうしたらよいでしょうか？

回答No.1

noname#57316 · ベストアンサー

<x軸・y軸へ射影した長さや位置は分かっているとします。
<そのとき、もとの線分の長さや位置を求めるにはどうしたらよいでしょうか？
その線分をベクトルと見て（i、j　をx、y　軸方向の単位ベクトルとする）、
i・(x1-x0)+j・(y1-y0)　とすると、
x軸への射影は、
i・{i・(x1-x0)+j・(y1-y0)}=x1-x0
y軸への射影は、
j・{i・(x1-x0)+j・(y1-y0)}=y1-y0

です。これから、元の線分のベクトル、i・(x1-x0)+j・(y1-y0)　が求まるので
長さは、√{(x1-x0)^2+・(y1-y0)^2}
位置は、(x0,y0)-(x1,y1)　です。

三次元でも同じ要領で求まります。

<xy平面・yz平面・zx平面へ射影した面積や位置は分かっているとします。
<そのとき、もとの三角形の面積や位置を求めるにはどうしたらよいでしょうか？

三角形の三つの頂点のどれかを起点とした二つのベクトルを
i・(x1-x0)+j・(y1-y0)+k・(z1-z0)
i・(x2-x0)+j・(y2-y0)+k・(z2-z0)
とします。（k　はz　軸方向の単位ベクトルとする）

このとき、この三角形の面積 S は、次の行列式の絶対値の(1/2)です。
｜　　　i　　　　　j　　　　　k　　 　|
｜　(x1-x0)　(y1-y0)　(z1-z0) ｜
｜　(x2-x0)　(y2-y0)　(z2-z0) ｜

xy平面へ射影したものの位置は、
元の三角形を表わす二つのベクトルのz 方向成分を0としたものなので
i・(x1-x0)+j・(y1-y0)
i・(x2-x0)+j・(y2-y0)

yz平面へ射影したものの位置は、
元の三角形を表わす二つのベクトルのx 方向成分を0としたものなので
j・(y1-y0)+k・(z1-z0)
j・(y2-y0)+k・(z2-z0)

zx平面へ射影したものの位置は、
元の三角形を表わす二つのベクトルのy 方向成分を0としたものなので
i・(x1-x0)+k・(z1-z0)
i・(x2-x0)+k・(z2-z0)
以上の三つの射影から求められます。

次に面積について
xy平面へ射影した面積を S_z とすると S_z は
上の行列式の z 方向成分の絶対値の(1/2)であり、
S_z=|(x1-x0)・(y2-y0)-(x2-x0)・(y1-y0)|/2

yz平面へ射影した面積は S_x とすると S_x は
上の行列式の x 方向成分の絶対値の(1/2)であり、
S_x=|(y1-y0)・(z2-z0)-(y2-y0)・(z1-z0)|/2

zx平面へ射影した面積は S_y とすると S_y は
上の行列式の y 方向成分の絶対値の(1/2)であり、
S_y=|(x1-x0)・(z2-z0)-(x2-x0)・(z1-z0)|/2

従って、元の面積 S　は、S=i・S_x+j・S_y+k・S_z であるので
S=√(S_x^2+S_y^2+S_z^2) として求められます。

お礼

すばらしいご回答ありがとうございます。

回答No.3

kumipapa

なるほど、私の早合点ですね。失礼しました。
で、もうＯＫですよね。

回答No.2

kumipapa

ご質問の意味が今ひとつ分らないので教えてください。
平面に線分があって、
＞　長さや位置は分かりませんが、x軸・y軸へ射影した長さや位置は分かっている
とのことですが、通常、ｘ軸、ｙ軸への射影と言われれば正射影のことではないのでしょうか？そうするとこの条件はおかしいと思うのですが・・・。点Ｐをｘ軸、ｙ軸に正射影したときの位置を点Ｐのｘ座標、ｙ座標とするというのが点Ｐの座標の定義なのですから、座標は分っていないが射影した点の位置は分っているのというのはおかしいですよね。射影が正射影ならば、座標が分っている線分の長さを求め、座標が分っている３点でできる三角形の面積を求めることになりますから、普通に計算するだけで、ご質問の主旨とは違うように思えるのですが。

ということで、ｘ軸、ｙ軸への射影の定義をきちんとして頂く必要があると思います。また、線分が２つ考えられるとのことですが、線形な写像をする限り線分が２つ考えられることはないように思いますので、正直に言うとご質問自体が相当怪しいように思います。

補足

射影というのは正射影のことですが、点を射影するというよりも、線分を射影するのです。

xy座標をもつ平面にある線分があったとします。
仮に一方を始点とすれば、他方は終点となります。
それを、x軸・y軸へ射影したものが分かってます。
つまり、
a≦x≦b、c≦y≦d
だけが分かっています。
このとき、x=aに対応する端点のy座標は、y=c,dの２通り考えられます。

２通りというのは、別の説明をすれば、長方形の対角線の個数に対応します。

xyz座標をもつ空間にある三角形があったとします。
面積や位置は分かりませんが、xy平面・yz平面・zx平面へ射影した面積や位置は分かっているとします。
そのとき、もとの三角形の面積はNo.1様のおっしゃる通りだと思いますが、位置は１通りに定まりそうです。

次に、
xyz座標をもつ空間にある三角形があったとします。
面積や位置は分かりませんが、x軸・y軸・z軸へ射影した長さや位置は分かっているとします。
簡単のために、それは
0≦x≦a、0≦y≦b、0≦z≦c
だったとします。
そのとき、もとの三角形の位置は4通りに定まりそうです。
適当な言葉ではないですが、直方体の対角三角形の個数が４個だからです。
もとの三角形の面積を求めるために、「直角四面体」を想定して、
その体積を２通りに表して、
abc/6=S・高さ/3
高さは平面x/a+y/b+z/c-1=0と原点との距離1/√(1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2)だから結局、
S=abc/2・√(1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2)
となりそうです。