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トーラスは R/Z × R/Z と同相。ではクラインの壷は?
直線は実数 R と同相です。 円周は実射影直線 RP(1) = { R^2 - {(0, 0)} } / ~ (比が同じものを同一視) と同相です。 また、円周は実数に無限遠点を付け加えた R∪{∞} とも同相です。 また、円周は実数体 R を有理整数環 Z で割った剰余環 R / Z とも同相です。 線分は、実数に無限遠点を2個付け加えた R∪{+∞, -∞} とも同相です。 平面は実数の組 R^2 や複素数 C と同相です。 球面は複素射影直線 CP(1) = { C^2 - {(0, 0)} } / ~ (比が同じものを同一視) と同相です。 また、球面は複素数に無限遠点を付け加えた C∪{∞} とも同相です。 実射影平面は RP(2) = { R^3 - {(0, 0, 0)} } / ~ (比が同じものを同一視) と同相です。 トーラスは R/Z × R/Z と同相です。 では、円板(境界を含む)はどのような代数的存在と同相と考えることができるのでしょうか? クラインの壷はどのような代数的存在と同相と考えることができるのでしょうか? その他、上記のような幾何学的存在と代数的存在の関係に、なにか別のいいアイデアがありましたらいただけないでしょうか?
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