- ベストアンサー
トーラスは R/Z × R/Z と同相。ではクラインの壷は?
ninigiの回答
無限遠点を付け加えたり、一点(原点)を引いたりするのは抵抗ないみたいなので連結和もOKかと思いましたが、ダメでしたか・・・。 連結和に代数的イメージを結びつけるのは難しいですね。うまい具合に代数的に意味のある場所でディスクを切り取れて、なおかつ代数的に意味のある方法で貼り付ける必要がありますね、 等質空間ほど綺麗な構成方法ではありませんが、代数的に意味のある方法でメビウスの帯やクライン管を作る方法を考えてみました。 【メビウスの帯】 まず実数R={x:実数}と1次元トーラスS1={θ:0≦θ<2π}の直積R×S1を作ります。 このR×S1の元の同値類~を次のように定義します。 (x,θ)~(-x,θ+π) すると商空間M=(R×S1)/~ は境界を含まないメビウスの帯になります。 これは球面の北極と南極を除いたものに実射影平面RP(2)を作る同一視と同じ操作を行ったもので、従って実射影平面RP(2)からディスクを取り除いたもの(=メビウスの帯)が得られます。 境界を含みたかったらRをR∪{+∞, -∞} などで置き換えてください。 【クラインの壷】 R×S1の同値類を次のように定義します。 (x,θ)~(-x,θ+π)~(x+1,θ) この同値類による商空間KL=(R×S1)/~ はクラインの壷になります。 この操作を元の空間R×S1内の矩形[0,1]×[0,π]に制限してみると、上下の辺を逆向きに、左右の辺を順向きに貼り合せるクラインの壷の構成方法に一致することが判ります。 こんなんでいかがでしょうか?
関連するQ&A
- 同相であることの証明
原点中心半径1の球の球面とユークリッド平面に一点を加えた集合は同相であることを示します。 いわゆる、立体射影というやつです。 まず、球面の北極点(0,0,1)を除いた集合から、ユークリッド全平面への写像が、 立体射影の方法で与えられていて、これが同相であることは認めていいとします。 次に、ユークリッド平面上にない、無限遠点∞をユークリッド平面に加えた集合を考え、 球面からその集合への写像Fを、fを拡張し、F((0,0,1))=∞ という風に設定します。 このとき、Fが(0,0,1)で連続であることを示したいのですが、やり方がわかりません。 どなたか詳しく教えていただけないでしょうか。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 図形同士が同相であるという証明
上半球面P={(x,y,z)∈R~3|x~2+y~2+z~2=1,z≧0}で、E={(x,y,z)∈R~3|x~2+y~2+z~2=1,z=0}を赤道とする。このときPに関係 x~-x(∀x∈E)で生成される同値関係”~”を考えて得られる商空間P/~が、2次元射影空間P~2と同相になることを示せ。 この問題なんですが、図では確かにどちらも同じ形になるので、同相になるんだろうとは思うんですが、その証明になると手が止まってしまうんです。方針としては、やはり同相写像が存在することを言えばいいのでしょうが、それをどのようにとればいいのか(全単射で逆像も連続なもの)がまったく思い浮かびません。 これは慣れとか経験から出てくるものなんでしょうか?だれか解法のヒントと、後者のコメントをお願いします。よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 同相写像についての問題がわかりません
Cを複素数体,C⊃Uは単連結な開領域とします。 U⊃Fを有界な閉集合で閉包cl(F)⊂Uとします。 この時,リーマンの写像定理から, f:U→{z∈C;|z|<1}なる同相写像fが存在しますが, 0<∃r<1;f(F)⊂{z∈C;|z|≦r}となる事を示したく思ってます。 どうすればいいのでしょうか?
- 締切済み
- 数学・算数
- 整数環に関して Ik ∩Q=Z
kは数体、代数体kに属する代数的整数の全体をIkで表す。Ikは整数環という。 (1)このときα∈kが αに関する次のr次式を満たすとする。係数は順に1、aの1番、---, aのr番 つまり{α^r+a1*α^(r-1)+---+aのr番=0} このとき各係数 (aのi番)∈Ikならば、α∈Ik (1) は理解できました。 (2) Ik ∩Q=Z (2)の証明について Ik ∩QはすなわちQに属する代数的数の全体である。(1)によりZは整閉であるからIk ∩Q=Zである。と本(岩波 河田 数論IIp155)に書いてあるのですが、Zは整閉というのがよくわかりません.説明願えませんか。
- ベストアンサー
- 数学・算数