トーラスは R/Z × R/Z と同相。ではクラインの壷は？

質問

直線は実数 R と同相です。

円周は実射影直線 RP(1) = { R^2 - {(0, 0)} } / ～ (比が同じものを同一視) と同相です。
また、円周は実数に無限遠点を付け加えた R∪{∞} とも同相です。
また、円周は実数体 R を有理整数環 Z で割った剰余環 R / Z とも同相です。

線分は、実数に無限遠点を２個付け加えた R∪{+∞, -∞} とも同相です。

平面は実数の組 R^2 や複素数 C と同相です。

球面は複素射影直線 CP(1) = { C^2 - {(0, 0)} } / ～ (比が同じものを同一視) と同相です。
また、球面は複素数に無限遠点を付け加えた C∪{∞} とも同相です。

実射影平面は RP(2) = { R^3 - {(0, 0, 0)} } / ～ (比が同じものを同一視) と同相です。

トーラスは R/Z × R/Z と同相です。

では、円板(境界を含む)はどのような代数的存在と同相と考えることができるのでしょうか？

クラインの壷はどのような代数的存在と同相と考えることができるのでしょうか？

その他、上記のような幾何学的存在と代数的存在の関係に、なにか別のいいアイデアがありましたらいただけないでしょうか？

回答No.2

ninigi

＞幾何学的存在と代数的存在の関係

というと、両者の関係の深い順に

１．Ｌｉｅ群　（微分多様体でもあり、かつ群でもあるもの。主な例は古典群）
２．等質空間　（Ｌｉｅ群を部分群で割った商空間。トーラスや射影空間、球面など）
３．代数多様体　（代数方程式の零点を張り合わせたもの）

が思いつきますね。

クライン管は向き付けられないのでＬｉｅ群にはならないし、曲率を考えると等質空間にもならなそうな気がします。
一方、クライン管は２個の実射影空間の連結和と同相なので、代数多様体になるんじゃないでしょうか。
式で書くと

　クライン管＝ＲＰ（１）＃ＲＰ（１）

です。

お礼

ありがとうございます。
幾何学的存在（イメージの世界）と代数的存在（論理の世界）の関係には、かんたんな感覚として、

直線⇔実数
２つの直線を直交させると平面ができる⇔２つの実数を並べて書くと実数の組ができる

などと思っています。

で、連結和というのは、幾何学的存在（イメージの世界）のものと思うのですが、それに対応する代数的存在（論理の世界）のものはなんなのかなあと疑問に思っています。

クラインの壷は、
[0,1] × [0,1] の境界を次のように同一視したものでもあります。
(0,y) ～ (1,y) ただし 0 ≦ y ≦ 1 ：対辺を同じ向きに張りあわせる
(x,0) ～ (1-x,1) ただし 0 ≦ x ≦ 1：対辺を反対向きに張りあわせる

[0,1] × [0,1] を正方形折り紙として、一組の対辺を同じ向きに張りあわせるということは、円柱にするということ。
さらにいえば、[0,1] × R　という無限に長い帯を、トイレットペーパーのごとく巻きつけて、円柱、[0,1] × R/Z にするということ。

同様に、
[0,1] × [0,1] を正方形折り紙として、一組の対辺を反対向きに張りあわせるということは、メビウスの帯にするということ。
さらにいえば、R × [0,1] という無限に長い帯を、次々ひねりながら巻きつけて、メビウスの帯 にするということ。
その無限に長い帯をメビウスの帯にするという操作が、代数的にどういえばよいのか疑問に思っています。